Методическое пособие 406

t

t 2 t(

1

1

) 2 t

T1

T2

,

2

2

1

1

T1

T2

T1T2

T1T2

отсюда

t

.

2

T T

1

2

Из геометрических соображений найдем 1 2 .

1 arccos

RЗемли

,

и

2

arccos

RЗемли

.

R1

R2

t

T1T2

(arccos

RЗемли

arccos

RЗемли

)

(T T )

R

R

1

2

1

2

96 88,3

(14.17

23.95) 13365 мин 222,75 ч.

3,14 (96 88,3)

1.12. Искусственный спутник Земли движется по орбите

со скоростью

0 7,75 10 3 м / с . Найти путь, пройденный спутником за

t 5 c после

изменяется в это время по закону a

kt ,

где k 2 м / c3 . Вычислить

тангенциальное ускорение и скорость в конце участка.

Дано:

СИ:

Решение:

0 7,75 10 3 м / с

Тангенциальное

ускорение

вычислим

по

t 5 c

указанной в условии закономерности:

a (t 5c) kt 2 5 10 м / с2 .

a kt

При

торможении

скорость

будет меняться

по

k 2

м / c3

закону:

a ?

5

(t 5c) 0

a dt 0

ktdt

?

s ?

0

kt2

5

7750 25 7725 м / с.

0

2

0

Соответственно путь, пройденный спутником за указанное время составит

5

kt2

kt3

5

2 53

s(t 5c) dt ( 0

)dt 0t

7750 5

38708 ,3 м.

0

2

6

0

6

Ответ:.

a 10 м / с2 , 7725

м / с , s 38708 ,3 м.

9

2

02

2gy и в верхней точке траектории оказывается равной

Дано:

СИ: Решение:

R

2

2

0

1

.

4g

По условию задачи знаем, что 0

2 1 , следовательно:

R

4 2

2

3 2

1

1

1

.

4g

4g

2

2

2gR 4 2

2g 3 2

4 2

3

2

5

2

1

А

0

1

4g

1

2

1

2

1 .

2

5

2

4g

10

an

А

1

g .

2

3

2

3

R

1

Дано:

СИ:

Решение:

m 60 т

6 104 кг

По

второму

закону

Ньютона

ускорение

FТ 90кН

9 104 Н

движущегося

тела

определяется

силами,

a ?

действующими

на него. Без учета сил

сопротивления в векторной форме оно должно

быть записано следующим образом:

ma

FТ .

Откуда

a

F

9 10

4

1,5м / с2 .

Т

m

6 10

4

Дано:

СИ:

Решение:

m 90кг

Равнодействующая

всех сил,

приложенных к

телу:

Fверт

500 Н

F

F

mg .

сопр

Fгориз

300 Н

Из геометрических соображений можно найти модуль

F ?

этой силы по теореме Пифагора, считая одним из

катетов

горизонтальную

составляющую

силы

сопротивления, вторым катетом разность между силой

тяжести и вертикальной составляющей силы

сопротивления:

F

F

2

(mg F

)2 3002 (90 9,8 500)2

гориз

верт

486Н .

Ответ: F

486 Н .

Дано:

СИ:

Решение:

mg 550кН

Равнодействующая всех сил, приложенных к телу:

Fподъем 555 кН

F

Fподъем

Fтяги

Fсопр mg .

Fтяги 162 кН

Из

геометрических

соображений можно найти

11

Fсопрот 150 кН

модуль этой силы по теореме Пифагора:

F ?

F

(Fтяги Fсопр )2

(Fподъем mg)2

?

(162 150)2 (555 550)2

13кН .

Направление результирующей силы можно указать,

задав тангенс угла наклона к горизонтальному

направлению:

Fподъем mg

555

550

5

tg

.

F

F

162

150

12

тяги

сопр

arctg

5

22,64 .

12

Т.о.,

22,64 22°38'24' .

Ответ:

F 13кН , arctg

5

22°38'24' .

12

углы

между

линией полета и буксирными тросами одинаковы и равны

30 . Сила

натяжения каждого буксирного троса T1 T2 T 500 Н . Сила

сопротивления воздуха движению самолета при данной скорости F' 400Н .

Найти силу тяги двигателя.

Дано:

СИ:

Решение:

30

При движении с постоянной скоростью сила тяги

T1 T2 T 500 Н

равна по модулю равнодействующей сил

F' 400Н

сопротивления и направлена в противоположную

Fтяги ?

сторону. Помимо силы сопротивления воздуха,

сумма сил натяжения тросов также будет силой

сопротивления. Находим геометрическую сумму сил натяжения:

2T cos

T

T1

T2

или T

T направлена по оси полета.

Fтяги

F' T

F' 2T cos30 400 2 500 cos30 1266Н.

Ответ: Fтяги 1266 Н .

Дано:

СИ:

Решение:

Rз 6370

км

6,37 106 м

Ускорение

свободного

падания

h

Rз

определяется

силой

гравитационного

2

притяжения тела к Земле:

G 6,67 10

11

м3

Fграв G

M З m

.

R2

кг с2

g(h) ?

При удалении от поверхности Земли

mg (h) G

M З m

.

(R h)2

З

Отсюда:

g(h) G

M З

.

(R

З

h)2

g(

RЗ

) G

M З

G

M З

G

4M З

4

g0

4

9,8 4,36 м / с2 .

RЗ

3RЗ

9RЗ 2

2

(RЗ

)

2

)

2

9

9

2

(

2

Т.о., сила притяжения и ускорение свободного падения уменьшатся в

9

4

раз.

Ответ: g(

RЗ

) 4,36

м / с 2 .

2

Дано:

СИ:

Решение:

m 80 кг

Сила, с которой тело действует на подвес или опору

a 9g м / c

2

называется

весом

тела G . Эта сила равна силе

тяжести P

mg ,

если тело покоится относительно

G ?

Земли или движется равномерно и прямолинейно.

G0

?

Когда тело движется с ускорением a , то вес тела равен:

G

m(g

a) .

Дано:

СИ:

Решение:

720км/ ч

200м / с

Когда

самолет

летит

прямолинейно,

30

плоскость крыла горизонтальна. Подъемная

m 37 103 кг

сила в этом случае направлена вертикально

вверх,

т.е.

перпендикулярна

к плоскости

R ?

крыла.

Fподъем ?

При повороте корпуса самолета вокруг

собственной продольной оси подъемная сила

поворачивается на тот же угол, т.е.

продолжает

оставаться перпендикулярной к

плоскости крыла.

Движение самолета описывается уравнением:

ma Fподъем

mg ,

(1)

при этом ускорение будет центро-

стремительным.

В проекции на горизонтальную ось из (1) получаем выражение:

ma

m 2

F

sin

,

(2)

ц

R

подъем

0 mg Fподъем cos .

Отсюда

Fподъем

mg

37 10 3

9,8 2

426 ,6 кН .

(3)

cos

3

Подставим (3) в (2):

m 2

mg

sin mg

tg .

cos

R

R

2

4 104 3

7070м 7,07 км .

g tg

9,8

Ответ:

R 7,07 км , Fподъем 426 ,6 кН .

14

Дано:

СИ:

Решение:

900

км / ч

250

м / с

На

летчика действуют сила тяжести и сила

P 10mg

реакции

опоры, равнодействующая этих сил

сообщают телу центростремительное ускорение:

R ?

ma N mg ,

В скалярном виде с учетом направления сил в

нижней точке петли получаем:

maц

N mg ,

m 2

или

N mg .

R

По третьему закону Ньютона сила реакции

опоры N равна по модулю весу тела P , т.е. той

силе, которая прижимает летчика к опоре и по условию задачи равна

десятикратной силе тяжести:

m

2

10mg mg 9mg .

R

Отсюда найдем радиус траектории:

R

m 2

2

250

2

708,6

м .

9mg 9g 9 9,8

Ответ:

R 708,6 м .

2.9. Чему равна сила сопротивления воздуха,

если тело массой m 2 кг

падает вблизи поверхности Земли с ускорением a 6 м / с2 ?

Дано:

СИ:

Решение:

m 2 кг

По второму закону Ньютона ускорение тела

a 6 м / с

2

определяется равнодействующей всех приложенных к

Fсопр ?

телу сил:

ma Fсопр mg ,

Или в скалярной форме с учетом направления сил:

ma Fсопр mg

Отсюда:

Fсопр

m(g a) 2 (9,8 6)

7,6

Н .

Ответ:

Fсопр 7,6

Н .

15

Дано:

СИ:

Решение:

m 500 кг

Запишем уравнения динамики аэростата

a 0,2

м / с2

для случая, когда он

a ,

а) движется с

ускорением

?

направленным вниз:

ma mg Fподъем

б) движется, сбросив балласт массой M , с

ускорением a , направленным вверх:

(m M )a Fподъем (m M )g .

Решив совместно два уравнения, получим

M

2ma

2 500 0,2

200 кг.

g a

9,8 0,2

Ответ:

M 200 кг.

скоростью 4,04

рад / с ?

Дано:

СИ:

Решение:

d 12 м

Космонавт, находящийся во вращающейся

4,04 рад / с

центрифуге, будет испытывать действие

центробежной силы инерции, которая будет

G ?

уравновешена силой реакции опоры. С такой же

по модулю силой космонавт будет действовать на

опору, т.е. перегрузка будет равна:

G Fц in m 2R m 98 10 mg .

Ответ: G 10mg .

Дано:

СИ:

Решение:

RЗ

3,7

Ускорение свободного падения определяется силой

RЛ

гравитационного притяжения:

16

M З

81

mg Л

G

M

Л m

,

(для взаимодействия с Луной)

M Л

R

2

Л

g З

9,8

м / с 2

mg З

G

M

З

m

,

(для взаимодействия с Землей)

g

?

R

2

Л

З

Найдем отношений ускорений свободного падения для Луны и Земли:

g

Л

M

R2

M

Л

R2

Л

З

З

.

gЗ

2

M З

2

M З RЛ

RЛ

Отсюда:

g

M Л RЗ2

g

M Л

RЗ2

g

3,72

9,8 1,65м / с2 .

Л

З

R2

З

M

З

R2

M

З

81

Л

Л

вокруг Луны на минимальной высоте над

поверхностью. Радиус Луны

RЛ 1700

км ,

ускорение свободного падения тел на Луне взять из

предыдущей задачи.

Дано:

СИ:

Решение:

RЛ 1700

км

Если единственной силой, действующей на снаряд

и

сообщающей

ему

центростремительное

?

ускорение, является сила тяжести, то по второму

Дано:

СИ:

Решение:

R 60 RЗ

Согласно закону всемирного тяготения на

mЗ 81mЛ

тело, находящееся в поле притяжения

другого

тела,

действует

сила,

r ?