Методическое пособие 406
.pdf
2.16. Две звезды под действием силы их взаимного притяжения описывают круговые орбиты вокруг их общего центра масс с периодом T, равным двум годам. Сумма масс звезд равна двум солнечным массам. Найти расстояние между звездами, если известно, что среднее расстояние от Земли до Солнца
равно |
R0 150 106 км . |
Масса Земли |
по сравнению с массой Солнца |
|||
пренебрежимо мала. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Дано: |
|
СИ: |
|
Решение: |
|
|
R0 150 106 км |
1,5 1011 м |
|
Введем r , r |
- расстояния от каждой из звезд до |
||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
T 2 года |
6,3 107 с |
|
их общего центра масс. Эти расстояния связаны |
|||
m1 m2 |
2 M C |
|
|
с массами соотношением: m1 : m2 r2 : r1 . |
||
R ? |
|
|
|
Принимая во внимание, что m1 m2 2 M C , и |
||
|
|
|
|
|
|
|
обозначая расстояния между звездами R , получим:
m2 2 MC r1 . R
Сила гравитационного притяжения является для центростремительной силой, звезды вращаются вокруг масс. При этом:
m1 2r1 G m1 m2 , R2
(1)
каждой звезды их общего центра
(2)
Учитывая связь периода и частоты вращения 2 /T и соотношение (2), из (1) получаем:
4 |
2 |
2 G M |
C |
|
|
|
|
|
. |
(3) |
|
T 2 |
R3 |
|
|||
|
|
|
|
Учитывая, что период обращения Земли вокруг Солнца равен одному году, а сумма масс приблизительно равна массе Солнца, можем записать аналогичную формулу:
|
4 |
2 |
|
G MC |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(4) |
|||
|
(T / 2)2 |
|
|
R3 |
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
где R0 - расстояние от Земли до Солнца. |
|
|||||||
Сравнивая (3) и (4), получаем: |
|
|||||||
R 2R0 |
2 1,5 1011 |
3 1011 м 3 108 км . |
|
|||||
|
|
|
||||||
Ответ: |
R 3 108 км . |
|
||||||
2.17. Космический корабль, имеющий лобовое сечение S 50 м2 и скорость10 км / с попадает в облако микрометеоров. В одном кубометре пространства находится один микрометеор. Масса каждого микрометеора M 0,02 г . На сколько должна возрасти сила тяги двигателя, чтобы
скорость корабля не изменилась? Удар микрометеоров об обшивку корабля считать неупругим.
19
Дано: |
|
|
|
|
|
СИ: |
|
|
Решение: |
|
|
|
|
||||||
10 |
|
км / с |
|
104 м / c |
|
|
Изменение силы тяги двигателя можно найти, |
||||||||||||
M 0,02 |
|
г |
|
2 10 5 кг |
|
|
воспользовавшись вторым законом Ньютона, |
||||||||||||
S 50 м2 |
|
|
|
|
|
|
|
записанным в следующем виде: |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(m ) F t , |
|
|
(1) |
|
|||||||
F ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где t - некоторый промежуток времени, а |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(m ) - изменение импульса микрометеоров, столкнувшихся с кораблем за |
|||||||||||||||||||
время t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Так как, по условию, скорость корабля постоянна, то из (1) следует: |
|
||||||||||||||||||
F |
m |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
здесь m - масса микрометеоров, |
столкнувшихся с кораблем за время |
t . |
|||||||||||||||||
Если |
|
|
|
- плотность микрометеоров, (т.е. |
масса в единице объема), |
то, |
|||||||||||||
очевидно, что: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
m S t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставив найденное |
значение |
m |
в |
выражение для |
силы |
(1), |
|||||||||||||
окончательно получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
2 10 |
5 |
|
|
|
|
|
|||
F 2S 2S |
|
|
|
108 50 |
|
|
|
105 Н . |
|
|
|
|
|||||||
V |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: |
F 105 Н . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2.18. К |
свободно висящему |
аэростату |
массой M 230 кг |
привязана |
|||||||||||||||
веревочная лестница длиной l , на нижнем конце которой находится человек. Какова масса человека, если поднявшись до конца лестницы при отсутствии ветра, он сместился относительно земли на 0,8l?
Дано: |
СИ: |
Решение: |
|
|
|
M 230 кг |
|
Импульс системы "аэростат-человек" до начала |
|||
h 0,8l |
|
движения равен нулю. По закону сохранения |
|||
|
|
импульса после |
начала |
движения |
выполняется |
m ? |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
соотношение: |
M 1 m 2 0 . |
(1) |
|
Т.к. человек и аэростат движутся в противоположные стороны, в скалярном виде (1) перепишется так:
M 1 m 2 |
(2) |
Считаем для простоты, что человек поднимается по лестнице с постоянной скоростью относительно земли, тогда скорость движения человека относительно земли:
2 |
|
h |
|
0,8 l |
, |
|
t |
t |
|||||
|
|
|
|
скорость движения аэростата относительно земли равна
20
|
|
l h |
|
0,2 l |
1 |
|
t |
|
t |
|
|
|
Подставим найденные скорости в (2):
m |
0,8 l |
|
M |
0,2 l |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
t |
|
t |
|
|
|
||||
0,8 m 0,2 M |
|
|
|
|
|
||||||
m |
0,2 |
M |
|
M |
|
|
230 |
57,5 кг. |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
0,8 |
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|||
Ответ: m M4 57,5 кг.
2.19. Из сопла ракеты вылетают продукты сгорания со скоростью u 2 км / с относительно ракеты. Массовый расход горючего, т.е. масса ежесекундно выбрасываемых газов 5 кг / с . Определить реактивную силу R , возникающую при выбрасывании газов.
Дано: |
|
СИ: |
Решение: |
|
u 2 |
км / с |
2000 м / с |
|
|
Реактивная сила R , действующая |
на ракету, |
|||
5 |
кг / с |
|
согласно третьему закону Ньютона |
равна по |
|
|
|
||
|
|
|
модулю и направлена противоположно силе F , |
|
R ? |
|
|
||
|
|
|
|
|
действующей со стороны ракеты на выбрасываемые газы:
R F .
Найдем эту силу, используя второй закон Ньютона, который запишем в виде:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
dp |
|
|
|
|
|
|
|
||||
F |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
|
|
|
- импульс, получаемый порцией газа массой dm за время dt : |
|||||||||
dp |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dp |
udm . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
udm |
|
|
|
|||
Тогда |
|
|
F |
|
, |
|
|
|
|||||
|
|
dt |
|
|
|
||||||||
|
|
dm |
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
|
|
|
|
|
и есть массовый расход , т.е. |
F |
u . |
|||||
|
dt |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно реактивная сила: |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
R u . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знак |
“-“ |
указывает |
на то, что |
реактивная сила R направлена |
|||||||||
противоположно скорости u выбрасываемых из сопла газов. |
|||||||||||||
R u 5 2000 |
10000 |
Н 10 кН . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ:. R 10 |
кН . |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
2.20. Ракета, |
масса |
|
которой |
в |
начальный |
момент |
M 2 кг , |
выпущена |
|||||||||||
вертикально |
вверх. |
|
Относительная скорость выхода продуктов сгорания |
||||||||||||||||
u 150 м / с , |
расход |
горючего |
0,2 кг / с . |
Пренебрегая сопротивлением |
|||||||||||||||
воздуха, |
определить |
ускорение |
|
a |
ракеты |
через |
t 3 с после |
начала |
|||||||||||
движения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дано: |
|
|
|
СИ: |
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
M 2 кг |
|
|
|
|
Запишем второй закон Ньютона в векторной форме - |
||||||||||||||
u 150 м / с |
|
|
|
|
ускорение |
|
ракеты |
будет |
определяться |
|
равно- |
||||||||
|
|
|
|
действующей |
реактивной силы ракеты |
и |
силы |
||||||||||||
0,2 |
кг / с |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
тяжести: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
t 3 с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
ma R mg , |
|
|
|
|
|
||||||||
a ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
причем две эти силы при вертикальном взлете ракеты |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
направлены вдоль одной прямой противоположно друг другу. |
|
|
|||||||||||||||||
Реактивная сила движения ракеты (см. предыдущую задачу) определяется |
|||||||||||||||||||
скоростью выхода продуктов сгорания и массовым расходом топлива: |
|||||||||||||||||||
R u . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
При сгорании топлива масса ракеты уменьшается по закону: |
|
|
|||||||||||||||||
m M t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Объединяя указанные закономерности, получим: |
|
|
|
||||||||||||||||
a |
R |
g |
|
u |
|
g |
0,2 150 |
9,8 11,6 |
м / с2 . |
|
|
|
|||||||
|
M t |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
m |
|
|
|
2 0,2 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ: |
a 11,6 м / с2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2.21. Автоматическая станция должна совершить мягкую посадку на поверхность Луны. Масса станции после выведения на траекторию полета к Луне была равна M 1583 кг . За 48 секунд до посадки по команде радиовысотомера была включена тормозная двигательная установка. Система управления посадкой обеспечила гашение скорости с 0 2600 м / с
до нуля у поверхности Луны. Топливо составляет половину веса станции перед ее торможением, и можно считать, что оно израсходовано полностью. Какая реактивная сила торможения действовала на станцию при посадке? Силой тяготения к Луне пренебречь.
Дано: |
СИ: |
Решение: |
|||
M 1583 кг |
|
Внешние силы на станцию не действуют. Масса ее |
|||
0 |
2600 м / с |
|
при движении во время торможения меняется, |
||
|
ежесекундно от станции отделяется масса |
||||
2 |
0 м / с |
|
|||
|
|
dm |
. |
||
|
|
|
|
||
t0 |
48 с |
|
|
|
|
|
|
dt |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|||
m |
M |
|
|
Уравнение движения станции имеет вид: |
|
||
|
|
|
m(t) |
d |
u , |
|
|
2 |
|
|
(1) |
||||
|
|
|
|
||||
Fреакт |
? |
|
dt |
|
|||
где m(t) - масса станции, - ее скорость, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
u - скорость газов, выбрасываемых тормозной установкой относительно станции, u - тормозная реактивная сила, всегда направленная навстречу скорости u .
Определим скорость выбрасываемых газов u . Перепишем уравнение (1) в виде:
m(t) ddt dmdt u .
В полученном дифференциальном уравнении разделим переменные:
d u dm . m(t)
В начальный момент времени 0 , m M ,
в конечный момент: 0, m M / 2 .
С учетом этого проинтегрируем уравнение (2)
0 |
M / 2 |
dm |
|
|
|
|
||
d u |
|
; 0 u ln m |
|
M / 2 |
u ln 2 . |
|||
|
||||||||
|
||||||||
0 |
m0 |
m |
|
|
m0 |
|
||
|
|
|
|
|||||
Откуда u |
|
0 |
. |
|
||||
|
ln 2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Реактивная сила торможения равна:
(2)
(3)
Fреакт |
|
dm |
u |
или Fреакт dt dm u . |
(4) |
|
|||||
|
|
dt |
|
|
|
В начальный момент времени t 0 , m0 M ,
в конечный момент - t t0 , m M / 2 . Проинтегрируем выражение (4):
t0 |
|
M / 2 |
|
|
|
|
|
|
|||
Fреакт dt u |
dm |
|
|
|
|
||||||
0 |
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
Fреакт t0 u( |
M |
|
M ) |
u M |
. |
||||||
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
Учтя уравнение (3), получаем |
|||||||||||
Fреакт |
0 |
M |
|
|
|
2600 |
1583 |
61,9 кН |
|||
2t0 |
ln 2 |
|
2 48 |
0,693 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Знак "-" показывает, что сила торможения противоположна направлению скорости станции 0 .
Ответ: Fреакт 61,9 кН .
23
2.22. Космический корабль массой m0 движется в отсутствие внешних сил со скоростью 0 . Для изменения направления движения включили реактивный
двигатель, который выбрасывает струю газа с постоянной относительно корабля скоростью u , все время перпендикулярной направлению движения корабля. В конце работы двигателя масса корабля стала равной m . На какой
угол |
изменилось направление движения корабля |
за время работы |
||||||||||
двигателя? |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Дано: |
СИ: |
Решение: |
|
|
|
|
||||||
m0 |
|
|
|
При повороте корабля в отсутствие внешних сил, реактивная |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
сила |
R будет единственной силой, |
определяющей характер |
||||||
0 |
|
|
|
движения: |
|
|
|
|
||||
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ma R |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dm |
|
|
|
? |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
R u |
|
u , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
- массовый расход топлива (см. предыдущие задачи). |
|
||||||||||
Поскольку направление скорости выброса струи газа перпендикулярно |
||||||||||||
направлению скорости полета космического корабля, то реактивная сила |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
будет выполнять роль центростремительной силы. |
ma R |
|||||||||||
|
m 2 |
u |
dm |
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
, |
|
(1) |
|
|||||
|
r |
dt |
|
|
||||||||
где r - радиус круговой траектории, по которой разворачивается корабль. Разделим переменные в уравнении (1):
|
dm |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
dt . |
|
|
|
|
||||||
m |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
u r |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dm |
|
|
|
0 |
|
|
dt , |
|
|
|
||||||
|
m |
u r |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
m |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
- длительность поворота корабля. |
|||||||||||||||
где |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
m |
|
2 |
|
|
|
m |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
ln |
|
u r |
, |
ln |
|
|
u r |
||||||||||
m |
m |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u r ln m0 .
02 m
Угол поворота при постоянной скорости вращения найдем по формуле:
|
s |
|
0 |
|
|
|
u |
ln |
m0 |
|
|||
r |
r |
|
|
0 |
|
m |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: |
u |
ln |
m0 |
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
m |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24
2.23. Самолет |
массой |
m 5 т при |
горизонтальном |
полете двигался |
со |
||||||||||||||||||||||
скоростью 1 |
360 км / ч . Затем он поднялся на высоту |
|
h 2 км. При этом |
||||||||||||||||||||||||
скорость |
уменьшилась до |
2 200 |
|
км / ч . Найдите работу, затраченную |
|||||||||||||||||||||||
мотором на подъем самолета. Сопротивлением воздуха пренебречь. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Дано: |
|
|
|
|
|
СИ: |
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
m 5 т |
|
|
|
|
|
5000кг |
|
Воспользуемся законом сохранения энергии. |
|
||||||||||||||||||
1 360 |
км / ч |
|
100 |
м / с |
|
|
m 2 |
|
|
|
m 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mgh |
|
|
1 |
|
A |
2 |
|
mgh |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
h 2 км |
|
|
|
|
|
2000 м |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
55,5 |
м / с |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 200 |
км / ч |
|
|
A mgh |
|
|
m 2 |
|
m 1 |
|
mgh |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
А ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
За нулевой уровень отсчета потенциальной энергии выберем высоту |
|||||||||||||||||||||||||||
горизонтального полета самолета, тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
m 2 |
|
|
|
m 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 103 55,52 |
|
5 103 1002 |
|
|||||||||
A mgh |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
5 103 9,8 2 103 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
98000 7701 25000 80,7 106 Дж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Ответ: A 80,7 10 6 Дж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2.24. Самолет массой |
m 2 |
т движется в горизонтальном направлении со |
|||||||||||||||||||||||||
скоростью 1 |
50 м / с . |
Находясь на |
высоте |
|
h 420 м , он переходит |
на |
|||||||||||||||||||||
снижение при выключенном двигателе и достигает дорожки аэродрома, имея
скорость 2 |
30 м / с . |
Определить работу силы сопротивления воздуха во |
|||||||||||||||
время планирующего полета. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Дано: |
|
|
|
СИ: |
|
Решение: |
|
|
|
||||||||
m 2 т |
|
|
|
2000 кг |
По |
закону |
сохранения энергии |
часть полной |
|||||||||
1 50 м / с |
|
|
|
|
|
|
механической энергии самолета к моменту |
||||||||||
h 420 м |
|
|
|
|
|
|
касания дорожки аэродрома ( hземли |
0) потратится |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
на преодоление сил сопротивления воздуха: |
|||||||||||
2 30 м / с |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 2 |
m 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Асопрот ? |
|
|
|
|
|
|
|
mgh |
|
1 |
|
2 |
A |
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A mgh |
m 2 |
|
|
m 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2000 9,8 420 |
2000 2500 |
|
2000 900 |
9,8 МДж . |
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
На такую величину изменится полная механическая энергия самолета, т.е. |
|||||||||||||||||
работа сил сопротивления воздуха равна: |
|
||||||||||||||||
Асопрот А 9,8 МДж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: Асопрот 9,8 |
МДж . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
2.25. Радиус астероида Ra 5 км , плотность равна а 5,5 г/см3 . Найти
ускорение силы тяжести на его поверхности. Определить, на какую высоту поднялся бы человек, находящийся на астероиде и подпрыгнувший с
усилием, достаточным для прыжка на hЗ 5см на Земле. Считать форму астероида сферической.
Дано: |
|
СИ: |
|
Решение: |
|
|
|
||||
а |
5,5 г/см3 |
|
5500 кг/м3 |
Согласно закону всемирного тяготения: |
|||||||
Ra |
5км |
|
5000 м |
mgа |
G |
mMa |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
hЗ |
5см |
|
0,05м |
|
|
R2 |
|
|
|
||
|
где |
m - масса произвольного тела, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
gа ? |
|
|
находящегося в поле притяжения астероида. |
||||||||
h |
? |
|
|
Следовательно |
gа G |
M a |
, |
||||
|
|
|
|||||||||
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
где G 6,67 10 11 |
м3 |
, M a - масса астероида, |
|
|
|
||||||
кг с2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вычислим ее по формуле: M a 34 R3 .
Т.о., |
gа |
G |
Ma |
|
4 G R |
|
|
|
R2 |
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
6,67 10 11 |
4 6,67 10 11 3,14 5000 5500 |
0,008 м / с2 |
||||||
|
|
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По условию задачи, человек в момент прыжка на Земле и на астероиде обладает одной и той же кинетической энергией. По закону сохранения в высшей точке подъема потенциальные энергии на Земле и на астероиде тоже будут одинаковыми:
mg а hа mg З hЗ ,
где m - масса человека, hа и hЗ - высота подъема на астероиде и Земле соответственно.
Получаем: hа |
|
gЗ |
hЗ |
9,8 |
|
0,05 63,8 м . |
|
ga |
0,008 |
||||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||||
Ответ: gа 0,008 |
м / с2 , |
hа 63,8 м . |
|||||
2.26. Вычислить вторую космическую скорости для Земли, если ее радиус
равен Rз 6370 |
км . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
Дано: |
|
СИ: |
Решение: |
|
|
||
Rз 6370 км |
|
6,37 106 м |
Второй |
космической |
скоростью |
||
M |
|
5,97 10 24 |
кг |
|
называется |
такая скорость, обладая |
|
З |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
G 6,67 10 |
11 |
м3 |
|
|
которой, тело может выйти из сферы |
|
|
|
притяжения планеты, т.е. удалиться от |
||
|
кг с2 |
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
нее на такое расстояние, что |
2 ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гравитационное притяжение перестает |
|
|
|
|
|
|
играть существенную роль. |
Для того, чтобы найти вторую космическую скорость, нужно вычислить работу, которую необходимо совершить против сил земного притяжения для удаления тела с поверхности Земли на бесконечность. Эта работа равна разности потенциальных энергий, которыми тело обладает на бесконечности и у поверхности земли:
AU U RЗ .
Вполе притяжения Земли тело массой m обладает потенциальной энергией:
U RЗ G |
M |
З |
m |
|
|
|
|
, |
|
|
|
RЗ |
||
где G - гравитационная постоянная Земли, на бесконечности эта энергия обращается в нуль.
Т.о. работа по удалению тела из поля притяжения Земли равна:
A G M З m . RЗ
Пренебрегая различием между силой тяжести и силой гравитационного притяжения тела к Земле, можно написать:
mg G M З m , RЗ2
отсюда
mgRЗ G M З m , RЗ
следовательно работу можно представить в виде:
A mgRЗ .
Эту работу тело совершает за счет запаса своей кинетической энергии. Чтобы запас энергии оказался достаточным, тело должно быть запущено со скоростью не меньшей, чем 2 , определяемой соотношением:
m 2 |
mgRЗ . |
|
2 |
||
2 |
||
|
Таким образом, вторая космическая скорость Земли равна:
|
|
|
|
|
|
2 |
2gRЗ |
2 9,8 6,37 106 |
11,2 км/ с . |
||
|
|
|
|||
Ответ: 2 11,2 |
км / с . |
|
|||
|
|
||||
2.27. Парашютист, |
достигнув в затяжном прыжке скорости 1 55 м / с , |
||||
раскрыл парашют, |
после чего |
за t 2 с скорость его уменьшилась до |
|||
|
|
|
|
|
27 |
2 5 м / с . |
Найти |
силу натяжения строп парашюта, если масса |
||||||||||||
парашютиста m 80 кг . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Дано: |
|
|
СИ: |
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
m 80 кг |
|
|
|
С того момента, как раскроется парашют, на |
||||||||||
1 |
55 |
м / с |
|
|
|
человека |
|
действуют |
сила |
тяжести |
и |
|||
|
|
|
равнодействующая всех сил натяжения строп |
|||||||||||
2 |
5 |
|
|
|
|
|||||||||
м / с |
|
|
|
парашюта. |
|
|
|
|
||||||
t 2 с |
|
|
|
|
Запишем II закон Ньютона: |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
T ? |
|
|
|
|
|
ma |
mg |
T |
|
(1) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Ускорение, которое получит человек в момент |
||||||||
|
|
|
|
|
|
раскрытия парашюта, будет направлено вверх, в |
||||||||
|
|
|
|
|
|
проекции на вертикальную ось уравнение (1) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
принимает вид: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
ma mg T |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
T m(a g) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Ускорение тела найдем, используя уравнение |
||||||||
|
|
|
|
|
|
кинематики для равноускоренного движения: |
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
1 at |
или |
a |
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
T m(a g) m( 1 |
2 |
g) 80 ( |
55 5 |
9,8) 2784 Н . |
|
|
||||||||
t |
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: T 2784 Н . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.28. Какую мощность должен развивать двигатель ракеты для обеспечения подъема ракеты на высоту h 1 км, если ее масса m 3000 кг , время
подъема t 1 мин ? Сопротивлением воздуха пренебречь, движение считать равноускоренным.
Дано: |
СИ: |
Решение: |
|
|
|
|
|
t 1 мин |
60 с |
По определению |
мощность равна |
отношению |
|||
h 1 км |
1000 м |
работы к |
интервалу времени, за который эта |
||||
|
|
|
A |
|
|
||
m 3000 кг |
|
работа совершена: |
N |
. |
|
||
|
t |
|
|||||
N ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
На ракету действуют сила тяжести и сила тяги |
||||||
|
|
||||||
|
|
двигателя. |
Эти |
|
силы |
являются |
|
|
|
консервативными, действующая в системе |
|||||
|
|
неконсервативная |
сила |
сопротивления воздуха |
|||
|
|
пренебрежимо мала по условию задачи. |
|||||
|
|
Следовательно, совершенную работу можно |
|||||
|
|
найти, воспользовавшись законом |
изменения |
||||
|
|
28 |
|
|
|
|
|