Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методические указания к практическим занятиям по дисциплинам «Информационные операции и атаки в распределенных системах». Плотников Д.Г

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.07 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Аналитическое выражение параметра риска

		n			n
E	=	λ	=		n	.
		λ

0		1		2√n + 2
		1
	2	λ √n + 2
	2	λ √n + 2

Для удобства анализа, данные выражения сведены в табл. 8.

Таблица 8 Аналитические выражения риска и его параметров

(для распределения плотности вероятности наступления ущерба по закону Эрланга)

Аналитическое выражение риска наступления ущерба u

(λu)n

Risk(u) = (n − 1)! exp(−λu)

где: u – ущерб, λ, n – параметры распределения плотности вероятности наступления ущерба

Наименование параметра риска

Среднее значение ущерба

M =

n + 1

Мода ущерба

u0 =

Пик риска

Rmax =

(n − 1)! en

Среднеквадратическое отклонение

σ =

√n + 1

ущерба

Среднеквадратическое отклонение

σ0 =

√n + 2

от моды

Островершинность риска

E0 =

2√n + 2

При распределении плотности вероятности наступления ущерба по закону Вейбулла параметры риска могут быть определены следующим образом:

1 Г (1 + 2) M = d ; λ Г (1 + 1d)

Аналитическое выражение параметра риска

1 Г (1 + 2) M = d λ Г (1 + 1d)

u0 = 1λ

Rmax = e

1 Г (1 + 3) Г2 (1 + 2) σ = √ d − d λ Г (1 + 1d) Г2 (1 + 1d)

Г (1

Г2 (1 +

√

−

;

Г (1

Г2 (1 +

Г (1 +

Г (1 + 2)

σ0 =

√

− 2

+ 1;

Г (1 + d)

2σ0

2√

Г (1 + d)

− 2

Г (1 + d)

+ 1

Г (1 + d)

Для удобства эти и другие выражения сведены в табл. 9.

Таблица 9 Аналитические выражения риска и его параметров

(для распределения плотности вероятности наступления ущерба по закону Вейбула)

Аналитическое выражение риска наступления ущерба u

Risk(u) = d(λu)d exp[−(λu)d]

где: u – ущерб, λ, d – параметры распределения плотности вероятности наступления ущерба

Наименование параметра риска

Среднее значение ущерба

Мода ущерба

Пик риска

Среднеквадратическое отклонение ущерба

Продолжение табл. 9

Наименование параметра

Аналитическое выражение

риска

параметра риска

Среднеквадратическое

Г (1 +

отклонение от моды

σ0

√

− 2

+ 1

Г (1 +

Островершинность риска

E0 =

Г (1 +

2√

− 2

+ 1

Г (1 +

)

Г (1 +

)

Применительно к логнормальному распределению плотности вероятности наступления ущерба могут быть получены следующие выражения параметров риска:

exp (2m +

(2σ)2

σ2

M =

)

= exp

(m +

) ;

exp (m +

σ2

)

exp (3m +

(3σ)2

)

σ2

σ = √

− exp2

(m +

) =

exp (m +

σ2

)

σ2

= √exp(2m + 4σ2) − exp (m + 2 ) =

σ2

= exp (m + 2 ) √exp(3σ2) − 1 ;

exp (3m +

(3σ)2

)

exp(2m + 2σ2)

σ0 = √

− 2em

+ (e)2m

exp (m +

σ2

exp (m +

σ2

)

= √exp(2m + 4σ2) − 2exp (2m

3σ2

) + exp(2m) =

= em√exp(4σ2) − 2exp

3σ2

(

) + 1;

σ0

3σ2

√exp(4σ2) − 2exp

(

) + 1

Эти и другие выражения сведены в табл. 10.

Таблица 10 Аналитические выражения риска и его параметров

(для логнормального распределения плотности вероятности наступления ущерба)

Аналитическое выражение риска наступления ущерба u

Risk(u) =

exp [−

(ln u − m)2

]

2σ2

σ√2π

где: u – ущерб, σ, m

– параметры

распределения

плотности

вероятности наступления ущерба

Наименование параметра

Аналитическое выражение

риска

параметра риска

Среднее значение ущерба

M = exp (m

σ2

)

Мода ущерба

u0 = em

Пик риска

Rmax

σ√2π

Среднеквадратическое

σ2

= exp (m +

) √exp(3σ2) − 1

отклонение ущерба

Среднеквадратическое

σ0 = em√exp(4σ2) − 2exp

3σ2

отклонение от моды

(

) + 1

Островершинность риска

√exp(4σ2) − 2exp (

3σ2

) + 1

Представленные выше таблицы являются методической основой для проведения численных расчетов параметров рисков при различных законах распределения плотности вероятности наступления ущерба. Обобщенно такой алгоритм представлен на рис. 1.

Однако возможен и более упрощенный вариант, когда уместно ограничиться нахождением моды и среднего значения (назовем их mu), а также их среднеквадратических отклонений (назовем их σu). Табл. 3-10 позволяют это сделать, а сам упрощенный алгоритм изображен на рис. 2.

				Начало
							Данные статис-
		Определение				закона	Данные статис-
		распределения			и	его	тики наступления
		параметров					ущербов


Значения		Расчет		первых		пяти	Данные из Табл.
Значения		начальных			моментов		Данные из Табл.
1 … 5		начальных			моментов		1,2
1 … 5		распределения					1,2
		распределения


Значения			Расчет моды и				Данные из
Значения				пика риска			Данные из
	и			пика риска			Табл. 3
0


				Расчет
Значение				среднего			Данные из
				значения			Табл. 3-10
				ущерба

Рис. 1. Блок-схема упрощенного алгоритма расчета параметров риска

		Расчет
Значение		среднеквадра-	Данные	из
		тического	Данные	из
		тического	Табл. 3-10
		отклонения	Табл. 3-10
		отклонения
		ущерба


		Расчет
Значения		третьего и	Данные	из
		четвертого	Данные	из

	и		Табл. 3-10
	и	центральных	Табл. 3-10
3	4	центральных
		моментов


		Расчет
Значения		ассиметрии и	Данные	из
	и	эксцесса	Табл. 3-10
		риска
		риска

Конец

Рис. 1. Блок-схема упрощенного алгоритма расчета параметров риска (продолжение)

Воспользовавшись данными алгоритмами, можно рассчитать риск-параметры компонент системы с последующим обобщением ее анализом с учетом вклада всех компонентов. На этапе оценки риска компонента системы возможны две статегии:

– экстремальная оценка

Risk(экс) = mu ± σu = u0 ± σ0

– средняя оценка

Risk(ср) = mu ± σu = M0 ± σ .

Данные таблицы приемлимы не только для рисков, но и для шансов системы.

Начало

Задание вида и параметров распределения плотности вероятности ущерба

Расчет первых трех начальных компонентов распределения

Ввод данных в выражения Табл. 3-10

Расчет среднего значения ущерба и среднеквадратического отклонения

Расчет моды риска и его среднеквадратического отклонения

Вывод расчитаных значений для анализа системы

Конец

Рис. 2. Блок-схема упрощенного алгоритма расчета параметров риска для компонентов систем

2. АЛГОРИТМИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ РИСКАНАЛИЗА СИСТЕМ В ДИАПАЗОНЕ УЩЕРБОВ

Рассмотрим экспоненциальное семейство распределений плотности вероятности φ(u) наступления ущерба с областью определения u>0. К таковым относятся логнормальное, экспоненциальное и гамма-распределения, распределения Релея, Вейбула и Эрланга. Соответствующие им аналитические выражения риска представлены в табл. 11.

Анализ аналитических выражений риска (табл. 11) позволяет для первых пяти видов распределения сделать следующее обобщение

Risk(x) =

axb

(1)

exp(x)

где: x = λu, (λu)2, (λu)d; b =

, 1, n; a = 1,2,

λс

, d.

Г(с)

(n−1)!

Таблица 11

Анализ аналитических выражений риска

Вид распределения

Аналитическое выражение для риска

плотности

вероятности ущерба

Экспоненциальный

Risk(u)

λu

exp(λu)

Релея

Risk(u)

2(λu)

exp(λu)2

Гамма

Risk(u) =

λс

(λu)с

Г(с) exp(λu)

Эрланга

Risk(u) =

(λu)n

(n − 1)!

exp(λu)

Вейбулла

Risk(u) = d

(λu)d

exp[(λu)d]

Логнормальный

Risk(u) =

exp [

(ln u − m)2

σ√2π

]

2σ2

С целью нахождения значений ущерба по заданному уровню риска для (1) составим следующее уравнение

Rmax k =	axb	,	(2)
	exp(x)

где: Rmax – пиковое значение риска;

k– коэффициент (k<1) задающий уровень отсчета от Rmax. Для поиска решения уравнения (2) прологарифмируем его

ln a + bln x − x = ln Rmax + ln k.

Далее разложим натуральный логарифм в ряд

	x − 1		1		x − 1		3
ln a + 2b [		+		(		)	+] − x = ln Rmax + ln k.
	x + 1		3		x + 1

Ограничимся первыми двумя членами ряда. Здесь погрешность составит для x=2 менее 1%, а для x=4 около 3%. Принимая данную погрешность допустимой, запишем уравнение

x − 1 1 x − 1 3

ln a + 2b [x + 1 + 3 (x + 1) ] − x = ln Rmax + ln k.

Произведем следующую замену переменных

y =

x−1

, где область определения -1<y<1.

x+1

Соответственно обратное преобразование будет иметь

вид

1 + y

x =

(3)

1 − y

В результате получим уравнение

2b [y +

y3] −

1 + y

= c,

(4)

1 − y

где с = ln Rmax + ln k − ln a.

Приводя (4) к общему знаменателю, получаем

2by(1 − y) +

y3(1 − y) − (1 + y) = c(1 − y).

Далее сгруппируем члены по степеням и в результате

получим уравнение четвертой степени

y4 − y3 + 3y2 + 3 (

1 − с

− 1) y +

(1 + c) = 0,

(5)

которое, как известно может быть решено в аналитическом виде. Два корня этого уравнения будут комплексными числами, а два других, имеющими физический смысл, действительными. Для них следует произвести обратное преобразование (3) и получить значения x1 и x2. Графически это решение можно проиллюстрировать с помощью рис. 11. Соответствующий алгоритм представлен на рис. 4.

Risk

Rmax

Rmax k

Рис. 3. Границы ущербов по заданному уровню риска

Начало

Ввод значений параметров распределения (1)

Расчет промежуточных параметров (4)

Решение уравнения (5)

Выполнение обратного преобразования

Конец

Рис. 4. Блок-схема алгоритма поиска граничных значений ущерба по заданному уровню риска

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]