Методическое пособие 377

По аналогии для логнормального распределения плотности вероятности наступления ущерба посредством логарифмирования может быть получено уравнение

где: с = ln(Rmaxσ√2π) = ln k < 0.

Осуществляя замену y = ln x и раскрывая скобки, получаем y2 − 2my2 + 3(m2 + 2σ2 ln k) = 0,

решением которого являются корни

y1,2 = m ± √m2 − m2 − 2σ2 ln k = m ± √−2σ2 ln k.

Отсюда

x1,2 = exp(m ± σ√− 2ln k).

Расчет данного выражения не представляет труда. Полученные результаты служат методической и

алгоритмической основой для нахождения границ ущербов (диапазона ущерба) для заданного уровня риска, что является важной задачей риск-анализа.

Узкополосность характеристики риска (рис. 3) может

где Qk – значение данного параметра по уровню kRmax.

Для логнормального распределения она имеет следующий вид exp(m)

Qk = exp(m + σ√− 2ln k) − exp(m − σ√− 2ln k) = 1

=exp(σ√− 2ln k) − exp(−σ√− 2ln k) = exp (√σ−√2lnπk)

=exp(σ√− 2ln k) − 1.

Как видно, узкополосность характеристики не зависит от n и определяется параметром σ. При отсчете по уровню 3дБ имеем k = √22.

29

3. РАСЧЕТ РИСКОВ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ПАРАМЕТРОВ РИСКОВ ИХ КОМПОНЕНТОВ

При создании защищенных автоматизированных систем, рассмотрение ущерба как случайной величины довольно распространено. Причем описание принято осуществлять с использованием различных законов распределения, среди которых наибольшее популярностью пользуются регулярные законы. В данном классе существенное практическое применение нашло экспоненциальное (x>0) семейство: экспоненциальный и логнормальный законы; гаммараспределение; распределение Эрланга, Вейбула и Релея.

Рассмотрим это семейство в контексте построения рискмоделей атакуемых систем, имея ввиду следующие обозначения:

φ(u)– плотность вероятности наступления ущерба u; αk = ∫0∞ ukφ(u) du – k-ый начальный момент φ(n); Risk(u)=u φ(u) – риск наступления ущерба u.

Будем исходить из того, что на основе статистики определен закон распределения φ(u), т.е. выдвинута и доказана гипотеза (скажем, с помощью критериев Пирсона или Колмогорова), определены параметры φ(u), соответствующие статданным. Когда оценка рисков компонентов распределенной системы осуществлена, т.е. известны законы распределения риска и найдены его параметры для каждого компонента, представляется возможность рассчитать риск системы в целом. При этом, будем исходить из того, что ущербы, возникающие в ее компонентах при отказах и атаках на них слабо коррелированны между собой. Тогда ожидаемый общий ущерб системы можно найти как сумму ущербов в отдельных ее компонентах. Причем это допустимо не только для детерминированных, но и для случайных величин. С другой стороны относительная независимость этих параметров открывает перспективу соответствующих вероятностных оценок, рассматривая вероятность наступления общего ущерба как произведение вероятностей возникновения ущербов в компонентах системы. В этой связи может быть предложено

30

следующее выражение оценки риска

n n

RiskΣ = (∑ui) ∏ φi(ui),

i=1 i=1

где: ui – мера ущерба в i-ой компоненте;

φi(ui) – плотность вероятности наступления ущерба ui;

n – количество компонентов системы.

В случае использования экспоненциального семейства распределений последнее выражение примет вид

определенные на основе соответствующего типа регулярного распределения экспоненциального семейства.

Данное выражение может быть конкретизировано, если законы распределения для ущербов в компонентах однотипны (имеют общие выражения) и отличаются друг от друга лишь параметрически. Такое в принципе возможно при однотипности компонентов, различающихся только настройкой на свою задачу. В этом случае, к примеру, для экспоненциального распределения имеем выражение для общего риска системы

где λi – параметр распределения плотности вероятности наступления ущерба в i-ой компоненте.

По аналогии можно записать выражение общего риска системы при различных распределениях:

– для распределения Релея

31

– для распределения Эрланга

возможны по крайней мере два варианта: пиковая и средняя оценка.

При пиковой оценке используются координаты максимума риска (Rmax, u0) и общее выражение будет выглядеть следующим образом

где Rmax i – значение максимума риска в i-ой компоненте системы;

u0i – значение ущерба, при котором имеет место быть пик риска в i–ой компоненте системы, т.е. мода риска.

Для различных типов экспоненциального семейства регулярных распределений последнее выражение можно переписать в следующем виде:

– для распределения Релея

32

33

Для удобства полученные выражения сведены в табл. 12.

Таблица 12 Аналитические выражения для расчета общего риска

при пиковых оценках риска в компонентах

Алгоритм расчета общего риска в данном случае должен предусматривать прежде всего ввод данных о виде и параметрах распределений плотности вероятности наступления

34

ущерба в каждой из компонент распределенной системы. Далее необходимо определить (в зависимости от вида распределения) координаты пика для всех компонентов системы. Полученные данные в результате следует использовать для расчета общего риска. Блок-схема данного алгоритма представлена на рис. 5.

Начало

Расчет общего риска системы с помощью выражения (2)

Конец

Рис. 5. Блок-схема алгоритма расчета общего риска системы на основе пиковых оценок риска в ее компонентах

При использовании усредненных оценок в компонентах общий риск системы можно рассчитать с помощью выражения

35

В случае однотипных распределений плотности вероятности наступления ущерба в компонентах последнее выражение может быть конкретизировано:

– для экспоненциального распределения