Методическое пособие 377

Для удобства анализа, данные выражения сведены в табл. 8.

Таблица 8 Аналитические выражения риска и его параметров

(для распределения плотности вероятности наступления ущерба по закону Эрланга)

Аналитическое выражение риска наступления ущерба u

(λu)n

Risk(u) = (n − 1)! exp(−λu)

где: u – ущерб, λ, n – параметры распределения плотности вероятности наступления ущерба

Наименование параметра риска

При распределении плотности вероятности наступления ущерба по закону Вейбулла параметры риска могут быть определены следующим образом:

1 Г (1 + 2) M = d ; λ Г (1 + 1d)

19

Продолжение табл. 9

Применительно к логнормальному распределению плотности вероятности наступления ущерба могут быть получены следующие выражения параметров риска:

σ2

= √exp(2m + 4σ2) − exp (m + 2 ) =

σ2

= exp (m + 2 ) √exp(3σ2) − 1 ;

21

Эти и другие выражения сведены в табл. 10.

Таблица 10 Аналитические выражения риска и его параметров

(для логнормального распределения плотности вероятности наступления ущерба)

Аналитическое выражение риска наступления ущерба u

22

Представленные выше таблицы являются методической основой для проведения численных расчетов параметров рисков при различных законах распределения плотности вероятности наступления ущерба. Обобщенно такой алгоритм представлен на рис. 1.

Однако возможен и более упрощенный вариант, когда уместно ограничиться нахождением моды и среднего значения (назовем их mu), а также их среднеквадратических отклонений (назовем их σu). Табл. 3-10 позволяют это сделать, а сам упрощенный алгоритм изображен на рис. 2.

А

Рис. 1. Блок-схема упрощенного алгоритма расчета параметров риска

23

2. АЛГОРИТМИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ РИСКАНАЛИЗА СИСТЕМ В ДИАПАЗОНЕ УЩЕРБОВ

Рассмотрим экспоненциальное семейство распределений плотности вероятности φ(u) наступления ущерба с областью определения u>0. К таковым относятся логнормальное, экспоненциальное и гамма-распределения, распределения Релея, Вейбула и Эрланга. Соответствующие им аналитические выражения риска представлены в табл. 11.

Анализ аналитических выражений риска (табл. 11) позволяет для первых пяти видов распределения сделать следующее обобщение

26

С целью нахождения значений ущерба по заданному уровню риска для (1) составим следующее уравнение

где: Rmax – пиковое значение риска;

k– коэффициент (k<1) задающий уровень отсчета от Rmax. Для поиска решения уравнения (2) прологарифмируем его

ln a + bln x − x = ln Rmax + ln k.

Далее разложим натуральный логарифм в ряд

Ограничимся первыми двумя членами ряда. Здесь погрешность составит для x=2 менее 1%, а для x=4 около 3%. Принимая данную погрешность допустимой, запишем уравнение

x − 1 1 x − 1 3

ln a + 2b [x + 1 + 3 (x + 1) ] − x = ln Rmax + ln k.

Произведем следующую замену переменных

27

которое, как известно может быть решено в аналитическом виде. Два корня этого уравнения будут комплексными числами, а два других, имеющими физический смысл, действительными. Для них следует произвести обратное преобразование (3) и получить значения x1 и x2. Графически это решение можно проиллюстрировать с помощью рис. 11. Соответствующий алгоритм представлен на рис. 4.

Risk

Rmax

Rmax k

x

Рис. 3. Границы ущербов по заданному уровню риска

Начало

Ввод значений параметров распределения (1)

Расчет промежуточных параметров (4)

Решение уравнения (5)

Выполнение обратного преобразования

Конец

Рис. 4. Блок-схема алгоритма поиска граничных значений ущерба по заданному уровню риска

28