Методическое пособие 365
.pdf
упругих |
( de1e , de2e ) |
и |
пластических |
( de1 p , de2 p ) |
составляющих. Поэтому |
|
|
|
|
|
de1 p de1 de1e , de2 p |
de2 de2e . |
(40) |
|
Упругие деформации связаны с напряжениями обобщенным законом Гука:
1 e1e E (
1 e2e E (
1 
2 );
(41)
2 1 ).
Разрешенные относительно напряжений эти уравнения имеют вид:
|
|
|
|
E |
|
(e1e |
e2e ); |
1 |
|
|
|
|
|
||
1 |
2 |
||||||
|
|
|
|
(42) |
|||
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
(e2e |
e1e ). |
|
2 |
|
|
|
|
|
||
1 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
Напряжения определяются через приращения пластических деформаций на данном этапе деформирования уравнениями пластического состояния для начально анизотропного материала с анизотропным упрочнением
|
2 |
|
|
|
[(1 |
a |
|
|
)(de |
i |
|
de |
) |
a |
|
(de |
i |
|
de |
)]; |
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
z |
2 |
|
|
||||||||||||||
3a de |
|
|
|
1 p |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 p |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(43) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
[(1 |
a |
|
)(de |
i |
|
|
de |
) |
a |
|
(de |
i |
|
de |
)]. |
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
z |
|
||||||||||||||||
|
3 ade |
|
|
2 p |
|
|
|
|
|
|
|
1 p |
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Здесь
70
ax |
|
|
|
r90 |
|
; |
|
|
|
1 |
r0 |
r90 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
a y |
|
|
|
r0 |
|
|
; |
|
|
1 |
r0 |
r90 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
az |
|
|
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
r0 |
r90 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
axy |
|
|
|
r45 |
2 |
|
. |
||
|
|
2r45 (1 |
r0 |
|
|
r90 ) |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
az 1 ax |
ay ; a ax ay ay az ax az . |
||||||||
(25)
(44)
Эквивалентное приращение пластической деформации
de |
|
2 |
[(1 a |
|
)de |
de |
2a |
de |
de |
(1 a |
|
)de |
de |
]; (46) |
|
|
y |
y |
|||||||||||
|
|
3a |
1 p |
1 p |
|
z 1 p |
2 p |
|
2 p 2 p |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Эквивалентное |
напряжение |
определяется |
уравнением |
||||||||||
кривой течения (39). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Эквивалентная |
|
деформация |
e |
|
|
определяется |
|||||||
суммированием ее приращений по этапам деформирования С другой стороны эквивалентное напряжение
3 |
[(1 |
ax ) |
2 |
2 |
1 |
||
|
|
|
Добавочные напряжения на втором этапе
2az 1 2 (1 a y ) 22 ]. |
(47) |
i1 , i2 на первом этапе равны 0, а
71
i |
1 |
[(1 |
||
|
||||
1(2) |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
i2(2) |
1 |
[1 |
||
2 |
||||
|
|
|||
|
(1 |
|
|
) exp( |
cde |
|
|
)] |
|
exp( |
de |
|
)[ |
de1 p(2) |
|
de1 p(1) |
], |
|
|||
m |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
(48) |
|||||||||||
|
|
|
|
(1) |
|
(1) |
|
(2) |
|
|
de(2) |
|
de(1) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(1 |
|
) exp( |
cde |
|
|
)] |
|
exp( |
de |
)[ |
de2 p(2) |
|
|
de2 p(1) |
]. |
|
||||
m |
m |
(1) |
(1) |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
de(2) |
|
de(1) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Здесь и далее последняя цифра в обозначениях
приращениях |
деформаций |
и |
напряжений |
de(1) , de(2) , (1) , |
(2) , de1 p(1) , de1 p(2) , de2 p(1) , de1 p(2) , de2 p(2) ,i1(2) ,i2(2) |
||
указывает номер этапа деформирования, для которого определены de, …
Алгоритм расчета
1.Подготовка данных
Вводят параметры анизотропии r0,r90,r45. По (44), (45) вычисляют ax , ay , az , a .
Если удлинения при изгибе происходят поперек направления прокатки, то вместо ax , ay в уравнениях
используют соответственно ay , ax .
Полоса разбивается по толщине на 2n элементов и определяются координаты узлов:
y |
|
h(i ne ) |
, i |
0,1,...,2n |
. |
(49) |
i |
|
|||||
|
ne |
e |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
В узле ne |
расчеты |
не выполняются. В этом |
узле все |
|||
деформации и напряжения считаются равными 0.
2. Расчет первого этапа изгиба.
Цель расчета: Определение деформаций и напряжений. Последующий расчет выполняется одинаково для всех узлов, поэтому индексы опускаются.
2.1 Расчет полных деформаций
72
Полагая координаты узлов в конце первого этапа изгиба равными начальным координатам, вычисляем
de1(1) y / r1 , de2(1) 0. |
(50) |
2.2. Проверка характера деформирования материала
Приняв упругие деформации равными полным
e1e(1) de1(1) , e2e(1) de2(1) , |
(51) |
определим по (42) соответствующие напряжения |
1(1) , 2(1) . |
Если |
|
3 |
[(1 a |
|
) |
2 |
2a |
|
(1 a |
|
) |
2 |
] |
|
2 |
x |
1(1) |
z 1(1) 2(1) |
y |
2(1) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то материал находится в чисто упругом зафиксируем в виде
A( 0 )n , (52)
состоянии, что
js 0.
Поэтому
de1 p(1) 0, de2 p(1) 0, de(1) 0. |
(53) |
На этом расчет 1-го этапа деформирования в этом узле заканчивается.
Если условие (52) не выполняется, материал находится в пластическом состоянии js 1 и расчет для данного узла продолжается.
2.3. Первая итерация
Принимаем приращения пластических деформаций равными приращениям полных деформаций
de1 p(1) de1(1) , de2 p(1) de2(1) . |
(54) |
73
По |
(46) |
определим приращение |
эквивалентной |
деформации de(1) , что позволяет по |
(47) вычислить |
||
эквивалентные напряжения (1) . |
|
||
На первом этапе деформирования добавочные напряжения отсутствуют
i1(1) 0,i2(1) 0. |
(55) |
С учетом (55) вычисляем напряжения |
1(1) , 2(1) (24) |
|
2 |
|
(1) |
[(1 |
a |
|
|
)de |
|||
1(1) |
|
|
|
|
|
y |
|||||
3 ade(1) |
|
|
|
1 p(1) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
(1) |
|
[(1 |
a |
|
)de |
||||
2(1) |
|
|
|
|
|
|
x |
||||
|
3 ade(1) |
|
|
|
|
2 p(1) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
az de2 p(1) ],
(56)
az de1 p(1) ]
2.4. Последующие итерации |
|
|
Определим по (41) упругие деформации e1e , e2e , |
а затем |
|
вычислим пластические деформации: |
|
|
de1 p(1) |
de1(1) e1e(1) ; de2 p(1) de2(1) e2e(1) . |
(57) |
Далее повторяется предыдущий расчет после равенств (54) |
||
до тех пор, |
пока различия в значениях деформации |
e1e(1) на |
входе и на выходе итерации не окажется меньше, скажем 5%:
|
2(e final |
ebegin ) |
|
|
|
|
1e(1) |
1e(1) |
|
0.05 |
(58) |
|
e final |
ebegin |
|
||
|
|
|
|
||
|
1e(1) |
1e(1) |
|
|
|
3. Расчет второго этапа изгиба |
|
||||
Цель расчета: определение напряжений 1(2) , |
2(2) . |
||||
|
|
|
74 |
|
|
3.1. Расчет приращений полных деформаций
Вычисляем |
|
|
|
|
|
|
|
de |
y( |
1 |
|
1 |
);de |
0. |
(59) |
|
|
||||||
1(2) |
|
r2 |
2(2) |
|
|
||
|
|
|
r1 |
|
|
||
3.2. Проверка упругого состояния материала
Полагая деформирование на втором этапе чисто упругим, найдем:
|
|
|
|
|
e1e(2) |
de1(2) |
e1e(1) ;e2e(2) |
de2(2) |
e2e(1) |
|
|
|
(60) |
||||||||
и определим по (42) напряжения |
1(2) , |
2(2) . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Если при |
js |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3 |
[(1 |
|
ax ) |
|
2 2az |
|
|
(1 a y ) |
|
2 ] |
|
A( |
0 )n , (61) |
||||||
2 |
1(2) |
1(2) |
2(2) |
2(2) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а при |
js |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
[1 |
m (1 |
m ) exp( |
Cdee(1) )] |
|
1(1) |
|
, |
(62) |
|||||||
|
|
|
|
|
1(2) |
|
|
|
|||||||||||||
то материал находится в чисто упругом состоянии, и на этом расчет второго этапа деформирования в этом узле закончен. В противном случае материал находится в пластическом состоянии и расчет для данного узла продолжается.
3.3. Первая итерация
Принимаем приращения пластических деформаций равными приращениям полных деформаций
|
de1 p(2) |
de1(2) , de2 p(2) |
de2(2) . |
(63) |
По |
(56) |
определим |
приращение |
эквивалентной |
деформации de(2) . Эквивалентная деформация |
|
|||
|
e(2) |
de(1) de(2) . |
|
|
|
|
75 |
|
|
|
По |
(49) |
вычисляем эквивалентное |
напряжение |
(2) |
и по (48) – добавочные. |
|
||
|
|
|
|
|
|
напряжения |
i1(2) ,i2(2) . Определим по |
(43)напряжения |
|
1(2) , |
2(2) . |
|
|
|
3.4. Последующие итерации
Определим по (41) упругие деформации e1e(2) , e2e(2) , а затем вычислим пластические деформации:
de1 p(2) de1(2) e1e(2) e1e(2) , de2 p(2) de2(2) e2e(1) e2e(2) .(64)
Далее повторяется предыдущий расчет, начиная с позиции, ниже (43) до тех пор, пока различие в деформации
e |
|
на входе |
ebegin |
и на выходе итерации не окажется меньше |
||||
1e(2) |
|
|
1e(2) |
|
|
|
|
|
5% , как и в (58). |
|
|
|
|
||||
|
4 Расчет пружинения |
|
||||||
|
Вычисляем изгибающий момент, отнесенный к единице |
|||||||
ширины полосы: |
|
|
|
|
||||
|
|
2ne |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
M b |
|
( 1(2)(i 1) |
1(2)(i) )( y(i 1) y(i) )( y(i) |
y(i 1) ) , (65) |
||
|
|
4 |
||||||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Радиус кривизны после пружинения |
|
||||||
|
|
r |
|
|
1 |
. |
|
(66) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
12M b |
|
|||
r2 Eh3
Необходимо проверить, не произошли ли в результате пружинения пластические деформации. Условие отсутствия этих деформаций запишем в виде приближенного неравенства
76
1(2)(i 0) |
|
|
6M b |
[1 |
m (1 |
m ) exp( Ce(2) )] |
|
1(2)(i 0) |
|
. (67) |
|
|
|
||||||||
|
|
h2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если это условие не выполняется, необходимо увеличить радиус r2 .
77
3.4.ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №12
Определение параметров эффекта Баушингера испытание на сжатие - растяжение
Цель работы. Изучить методику испытаний и расчета параметров эффекта Баушингера и сравнение его значения с результатами, полученными в лабораторной работе №11.
1 Теоретическая справка.
Способ определения параметров эффекта Баушингера.
Вмоделях материала, учитывающих кинематическое
упрочнение, эффект Баушингера описывается параметром , |
|
равным отношению предела текучести на сжатие |
02(c) |
|
|
материала, растянутого предварительно до напряжения i( p) , к
этому напряжению (рис.30). В дальнейшем используется условный предел текучести, характерный для алюминиевых сплавов, у которых кривые деформирования не имеют площадок текучести. Параметр 
зависит от величины предварительной пластической деформации e . Эта зависимость удовлетворительно описывается уравнением
|
m |
( |
0 |
m ) exp( C e) , |
|
(68) |
|
где |
0 , m ,C |
- постоянные материала. Параметр |
0 равен |
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
02(c) |
; |
|
(69) |
|
0 |
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
02( p) |
|
|
|
где |
0 |
|
|
0 |
-пределы |
текучести |
начально |
02(c) , |
02( p) |
||||||
недеформированного материала соответственно на сжатие и
78
растяжение. Остальные коэффициенты уравнения (68) определяют в результате аппроксимации экспериментальной зависимости (e) этим уравнением.
Существующие методы определения параметров эффекта Баушингера листовых материалов основаны на двухэтапном испытании материала по программе: растяжение до определѐнной пластической деформации; разгрузка; сжатие до пластической деформации, необходимой для определения предела текучести. Так как испытывают короткие образцы, условие однородности напряженного состояния образца нарушается, образец часто теряет устойчивость, что сказывается на точности определения предела текучести, а, следовательно, параметра .
Испытательная установка/5/.
На рис.31 приведена принципиальная схема установки для испытания на продольное сжатие длинных плоских образцов. Контейнер 1 имеет габаритные размеры 450х130х160 мм и толщину стенок 20 мм. Плоский образец в виде полосы с размерами не больше 240х40 мм вырезают из листа вдоль или поперек прокатки так, чтобы одна из главных осей анизотропии совпадала с направлением растяжения-сжатия. Образец 2 помещается в контейнер на раздвижную наборную плиту 3, с помощью которой центрируется его положение относительно штока 8. Сжимающее усилие в образце передается через шток на динамометр 7. Образец сжимается плунжером 4 на величину 
так, чтобы последующий в результате продольный изгиб образца не вызвал в нем пластических деформаций. Продольное сжимающее усилие создается винтовой парой 6. Изогнутый на величину прогиба f образец фиксируется набором клиновых вставок 5 между
наружной плитой и плунжером. Затем на образец кладут резиновые блоки 11 в количестве, обеспечивающем полное заполнение рабочего пространства контейнера. На блоки 11
79