Методическое пособие 357

где Ii(t) – текущее значение тока, формируемого в цепи якоря исполнительного двигателя постоянного тока координаты с номером i;

Kпреобрi – коэффициент преобразования при переходе от текущего значения обобщенной координаты qi(t) к текущему значению угла поворота qдi(t) якоря двигателя координаты с номером i;

Kmi – коэффициент пропорциональности по моменту; Ui(t) – текущее значение управляющего напряжения;

Kei – коэффициент в уравнении для определения противоЭДС двигателя координаты с номером i;

qдi(t) – текущее значение скорости исполнительного дви-

гателя;

Ri – активное сопротивление цепи якоря двигателя.

На практике необходимо учитывать ограничения на токи и напряжения якорей исполнительных двигателей.

Заданные векторы qзад(t) обобщенных координат, их первых qзад(t) и вторых qзад(t) производных формируются

с помощью кубических сплайнов. При этом обеспечивается непрерывность сигналов задания перемещений, скоростей и ускорений координат в опорных точках.

Кубический сплайн на интервале с номером s представляется в следующем виде:

где i – номер обобщенной координаты;

s = 1, 2, ... , m – номер временного интервала;

20

Mi,s-1, Mis – постоянные параметры для s-го интервала времени при движении по j-й координате;

hs= ts – ts-1 – длительность временного интервала с номером s;

t – текущее время;

qi,s-1, qis – значения обобщенной координаты j в начале

иконце интервала времени.

Сплайн, описываемый выражением (1.38), удовлетворяет условиям непрерывности и приближения при любых значениях параметров Mi s.

Выражение для определения скорости изменения обобщенной координаты на интервале с номером s получается в результате дифференцирования правой и левой частей урав-

нения (1.38):

Ускорение непрерывно в опорных точках, изменяется по кусочно-линейному закону и определяется на интервале с номером s из уравнения

Параметры Mis определяются из системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей

21

Для решения системы уравнений (1.42) может быть использован метод прогонки [4]. Согласно этому методу сначала по рекуррентным формулам находятся значения вспомогательных коэффициентов es, bis:

es = – s/( ses–1+2); bis = (dis – sbi,s–1)/( ses–1+2);

Затем по найденным es, bis последовательно определяются значения параметров кубического сплайна Mim, Mi,m-1,

... , Mi0 :

Mim = bim; Mis = es M i,s+1+bis; s = m – 1, ... , 0. (1.45)

После определения всех параметров Mis кубический сплайн Pi,s3(t) (сигнал задания перемещения), его первая и вторая производные (сигналы задания скорости и ускорения) вычисляются для каждой степени подвижности из системы уравнений (1.39)–(1.41) через определенные моменты времени, называемые периодами дискретности Тд, и подаются на исполнительную систему робота.

1.4. Моделирование исполнительной системы робота

Рассмотрим для примера математическое описание управляемого движения манипулятора, работающего в декартовой системе координат, и структурную схему исполнительного привода, основанную на принципе управления по ускорению [5].

Расчетная схема манипулятора, работающего в декартовой системе координат, приведена на рис. 1.5.

22

Как видно из системы уравнений (1.46), взаимосвязь движений по координатам x1, x2 и x3 отсутствует. Это обусловлено тем, что перемещения по различным координатам осуществляются вдоль взаимно перпендикулярных осей Ox1,

Ox2, Ox3.

Уравнения движения исполнительных приводов [4]:

i

где Mдi электромагнитный момент исполнительного двигателя (ИД) координаты i;

Mнi – момент внешней нагрузки, приведенный к валу ИД координаты i;

Ji – момент инерции якоря ИД координаты i;дi – угловое ускорение ИД координаты i;

kmi – коэффициент пропорциональности по моменту ИД координаты i;

Ri – активное сопротивление цепи якоря ИД координаты i; Ui напряжение на якоре ИД координаты i;

kei – коэффициент противоЭДС двигателя i-й координаты;дi – угловая скорость ИД координаты i.

Параметры вращательного движения исполнительных двигателей и поступательного перемещения по координатам x1, x2, x3 связаны выражениями

Из уравнений (1.47) с учетом (1.48) получаются следующие выражения:

24

Подставляя (1.49) в (1.46), получим полное математическое описание управляемого движения манипулятора:

A1x1 b1(x1) n1hR1k1 m1 U1,

Приведенные моменты инерции на валах исполнительных двигателей и параметры А1, А2, А3 связаны выражениями

Определим структуру алгоритма управления манипулятором с декартовой системой координат и формулы для расчета его параметров.

Задачу синтеза алгоритма позиционного управления сформулируем следующим образом.

Синтезируемый алгоритм управления манипулятором должен обеспечивать перевод механизма из произвольного начального состояния

25

в назначенное состояние, которое соответствует неподвижной

точке (xзад1, xзад2, xзад3)т. Необходимо при этом, чтобы процессы перехода в целевое состояние xi(t) xзадi(t) являлись решениями уравнений

где i – коэффициент усиления в контуре ускорения. Требуемые ускорения вычисляются из (1.53) по формуле

Уравнения (1.55) можно записать в интегральной форме

ствующая (1.56), (1.57), (1.47) и (1.48), приведена на рис. 1.6.

Рис. 1.6. Структурная схема исполнительного привода

Коэффициенты i0 и i1 рассчитываются из уравнений [5]:

26

Коэффициенты усиления i определяются из уравнения

Контрольные вопросы

1.Какими параметрами характеризуются звенья манипулятора по методу Ньютона-Эйлера?

2.Покажите на примере характерные векторы для произвольного звена манипулятора.

3.Какие существуют виды динамических моделей манипулятора?

4.Какие матрицы и векторы входят в уравнение динамической модели манипулятора и от каких параметров они зависят?

5.Какие последовательные повороты необходимо выполнить при определении характерных векторов в абсолютной системе координат?

6.Как определить характерные векторы в абсолютной системе координат?

7.Как рассчитать элементы матрицы инерции динамической модели?

27

8.Как представляется элемент матрицы, учитывающей взаимовлияние звеньев?

9.Как определить вектор сил тяжести?

10.Получите динамическую модель привода постоянного тока в векторной форме.

11.Получите динамическую модель привода постоянного тока в векторной форме для системы второго порядка.

12. Поясните физический смысл всех параметров

всистеме уравнений, описывающей гидропривод.

13.Получите динамическую модель гидропривода

ввекторной форме.

14.Покажите аналогичность математических моделей и физических процессов в приводах постоянного тока и гидроприводах.

15.Постройте структурную схему системы динамического управления манипулятором.

16.Как определяется вектор обобщенных сил в системе

динамического управления 17. Каким образом рассчитываются элементы матрицы

A(q(t),d) c учетом инерционности исполнительных двигате-

лей

18. Как определяются векторы управляющих токов

инапряжений

19.За счет чего обеспечивается непрерывность переме-

щений, скоростей и ускорений координат в опорных точках 20. Как рассчитать заданные значения перемещений,

скоростей и ускорений обобщенных координат между опор-

ными точками 21. Каким образом определяются параметры требуемых

траекторий перемещения звеньев манипулятора между опорными точками

22.Как определить эталонное ускорение и управляющее напряжение на якоре двигателя координаты i?

23.Получите структурную схему исполнительного привода на основе принципа управления по ускорению.

28

2.ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РТС

СИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМЫ GPSS

Робототехническая система (РТС) характеризуется наличием большого количества элементов и сложными взаимосвязями между ними. Аналитическое моделирование, основанное на косвенном описании объекта с помощью набора математических выражений, не приводит к желаемому результату. Эта глава посвящена имитационному моделированию РТС с использованием общецелевой системы моделирования GPSS.

2.1. Целесообразность имитационного моделирования РТС

РТС является сложной системой с большим числом переменных управления и связей между ними. Возможность провести реальные эксперименты на РТС в силу ряда причин отсутствует. Эти причины следующие:

1)число работающих в промышленности РТС в настоящее время не велико;

2)проведение экспериментов в условиях конкретного завода нарушает порядок его работы;

3)при экспериментировании с реальной РТС невозможно исследовать множество альтернативных вариантов;

4)для получения достаточной по объему выборки (в целях проверки статистической значимости результатов эксперимента) необходимы большие затраты времени и средств.

Имитация на персональных компьютерах позволяет исследовать поведение модели как в определенный момент времени (статическая имитация), так и в течение продолжи-

тельных периодов времени (динамическая имитация). Обычно имитационный эксперимент является вероят-

ностной имитацией в противоположность чисто детерминированной имитации, поскольку в реальных устройствах всегда присутствует неопределенность ряда параметров, случайные воздействия на проектируемую систему.

Имитационная модель может быть описана как на универсальных, так и на специализированных языках.

29