Методическое пособие 357

где qi/ j – единичный вектор j-й оси системы координат i-го звена перед поворотом на угол qi.

Для поступательного i-го сочленения qi/ j = qij.

системе координат i-го звена, то в абсолютной системе они будут иметь вид

Если сочленение с номером i поступательное, то вектор rii станет равным

Таким образом, все требуемые для расчетов векторы, связанные с множеством Ki, определены в абсолютной системе координат.

Элемент (i, k) матрицы A(q,d) инерции рассчитывается по формулам:

10

Если Qj – матрица, связывающая j-ю и абсолютную системы координат, то Jj = QТj J~ j Qj.

Элементы (k, l) матриц Bi(q,d), учитывающих взаимовлияние звеньев, определяются из уравнений:

Матрица Bi(q,d) симметрична относительно главной диагонали.

Элемент с номером i вектора С(q,d) сил тяжести задается выражением

где g – вектор гравитационного ускорения.

Для того чтобы получить полную динамическую модель манипулятора как объекта управления, уравнения динамики механической части необходимо дополнить динамическими моделями приводов в сочленениях робота.

В связи с этим в следующем разделе рассмотрим уравнения динамики часто применяемых в робототехнике типов приводов – электромеханического и гидравлического.

1.2. Динамические модели приводов роботов

Широкое распространение в регулируемых электромеханических приводах роботов получили двигатели постоянного тока благодаря хорошим регулировочным свойствам и простоте системы управления ими. Как правило, двигателями постоянного тока управляют изменением подводимого к якорю напряжения при постоянном магнитном потоке машины.

11

Уравнение электрического равновесия в якорной цепи и уравнение движения электропривода имеют следующий вид:

где Li – индуктивность цепи якоря ИД i-й координаты;

Ii, Ii – ток якоря двигателя i-й координаты и скорость его

изменения;

Ri – активное сопротивление цепи якоря i-й координаты; kei – коэффициент противоЭДС двигателя i-й координаты;

qдi – угловая скорость двигателя i-й координаты;

Ui – напряжение на якоре двигателя i-й координаты; kmi – коэффициент момента двигателя i-й координаты;

Mнi – момент внешней нагрузки, приведенный к валу двигателя i-й координаты;

kс – коэффициент вязкого трения;

Ji – момент инерции якоря двигателя i-й координаты; qдi – угловое ускорение двигателя i-й координаты.

Первое уравнение системы (1.12) описывает электромагнитные процессы, происходящие в цепи якоря двигателя. Второе уравнение связывает электромагнитный момент двигателя, динамический момент, момент вязкого трения и момент нагрузки на валу, т.е. является основным уравнением движения электропривода i-й координаты.

Уравнения (1.12) можно привести к векторной форме следующим образом. Введем вектор состояния i-го привода

yi = (qдi, qдi , Ii)т. Выразим из первого уравнения системы (1.12)

ток Ii цепи якоря, из второго уравнения – угловое ускорение вала двигателя qдi . Получим систему уравнений

Ii kеi qдi /Li Ri Ii /Li Ui /Li.

12

Систему уравнений (1.13) представим в векторной форме

Вектор i параметров i-го двигателя включает в себя

параметры kс, J i, kmi, kei, Li, Ri.

С учетом (1.15) векторное уравнение (1.14) приобретает следующий вид:

где yi , yi – вектор состояния i-го привода и его первая произ-

водная по времени;

Di( i ) – матрица подсистемы;

bi( i ) – вектор преобразования управляющего сигнала; Ui – управляющий сигнал на привод i-й координаты; fi( i ) – вектор преобразования нагрузки;

Mнi – нагрузка, действующая на i-й привод.

13

В частном случае, когда можно пренебречь индуктивностью Li, вязким трением kс, и положить, что вектор состояния

Вектор i параметров i-го двигателя включает в себя

параметры kmi, kei, J i, Ri. С учетом (1.18) векторное уравнение (1.17) приобретает вид уравнения (1.16).

Наряду с электромеханическими приводами при реализации исполнительных систем применяются гидроприводы, состоящие из управляемых сервоклапанов и гидроцилиндров.

На рис. 1.4 представлена схема гидроцилиндра.

Рис. 1.4. Схема гидроцилиндра

14

На рис. 1.4 приняты следующие обозначения: Dшт – диаметр штока;

dп – диаметр поршня;

Fн – сила нагрузки на штоке гидроцилиндра; р1, р2 – давление жидкости.

В левую полость гидроцилиндра поступает поток жидкости с давлением р1, из правой полости выходит поток жидкости с давлением р2. Перепад давления между двумя поверхностями поршня

Сила, развиваемая гидроцилиндром, определяется выражением

где Sp – площадь поршня.

Поток, связанный с перемещением поршня, пропорционален скорости поршня:

Между полостями гидроцилиндра и во внешнюю область существуют утечки, которые зависят от величины зазоров между поршнем, штоком и стенками цилиндра, а также от величины перепада давления. Поток утечек

где k u – коэффициент внутренних и внешних утечек. Поток, идущий на компенсацию деформации жидкости:

где Vc – рабочий объем гидроцилиндра;

pd – производная по времени от перепада давления; ks – коэффициент сжимаемости жидкости.

15

Реальный поток Q определяется суммой потоков, связанных с перемещением поршня и теряющихся в результате утечек и сжимаемости жидкости:

Теоретический поток Q пропорционален току в обмотке сервоклапана:

где kn – наклон нагрузочной характеристики сервоклапана. Усилие, развиваемое гидроцилиндром, связано с дина-

мическим усилием, силой вязкого трения и силой нагрузки на штоке цилиндра следующим соотношением:

где mp – масса поршня;

lp,lp – ускорение и скорость поршня;

kc – коэффициент вязкого трения.

Таким образом, гидропривод может быть описан следующей системой уравнений:

16

Первое уравнение системы (1.28) определяет составляющие реального потока. Второе уравнение является уравнением движения гидропривода. Третье и четвертое уравнения системы (1.28) определяют следующую зависимость между током i c в обмотке сервоклапана, перепадом давления pd и реальным потоком Q:

yi (lpi , lpi , pdi )т. Выразим из первого уравнения системы

17

С учетом (1.33) векторное уравнение (1.32) приобретает вид, аналогичный (1.16):

qi двигателя и координаты манипулятора связаны соотноше-

ниями, зависящими от их типа движения, а также конструктивных особенностей конкретного манипулятора.

1.3. Математическое описание системы динамического управления

Динамическое управление манипулятором основано на включении его динамической модели непосредственно в структуру управляющей системы. Решение обратной задачи динамики позволяет определить вектор обобщенных сил P(t), который необходим для отработки системой управления векторов заданных траекторий qзад (t) обобщенных координат, их первых qзад(t) и вторых qзад(t) производных.

Манипулятор совершает устойчивое движение вблизи заданной траектории в том случае, если вектор P(t) определяется из соотношения [2]:

P(t) = A(q(t), d ){ qзад(t) + K0[qзад (t) – q(t)] +

+ K1[ qзад (t) – q(t)]} + B(q(t), q (t), d ) + C(q(t), d), (1.35)

18

где q зад (t) [qзад1(t),..., qзадn (t)]т – вектор-столбец заданных значений ускорений обобщенных координат;

K0 – матрица размером n n коэффициентов обратной связи по положению;

qзад(t) [qзад1 (t),..., qзадn (t)]т – вектор-столбец заданных значений обобщенных координат;

K1 – матрица размером n n коэффициентов обратной связи по скорости;

значений скоростей обобщенных координат.

Диагональные матрицы K0 и K1 при n = 3 имеют вид [3]:

где 10, 20, 30 – коэффициенты обратной связи по положению;

11, 21, 31 – коэффициенты обратной связи по скорости. Следует отметить, что в матрице A(q(t), d ) необходимо учесть инерционность исполнительных приводов в соответ-

ствии с уравнением

где A (q(t), d ) – элемент матрицы инерции механической части манипулятора, находящийся на главной диагонали и соответствующий координате с номером i;

Ji Jяi Jрi – момент инерции якоря двигателя и редук-

тора координаты с номером i, приведенный к валу двигателя; ni – коэффициент передачи редуктора координаты

с номером i.

После расчета вектора обобщенных сил определяются векторы управляющих токов и напряжений, подаваемых на исполнительные двигатели, на основе следующих выражений:

19