Методическое пособие 296

8.3. Интегрирование дифференциальных биномов

ренциального бинома), где a, b – действительные числа; m, n – рациональные числа, выражаются через элементарные функции

Приведение интеграла к интегралу от рациональной функции осуществляется следующими подстановками:

29

где s – знаменатель дроби p.

Во всех остальных случаях интегралы от дифференциального бинома не выражаются через элементарные функции, т.е. не берутся.

Задачи для самостоятельного решения

30

9. ОБ ИНТЕГРАЛАХ, КОТОРЫЕ НЕ ВЫРАЖАЮТСЯ ЧЕРЕЗ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

Как известно, всякая непрерывная функция имеет первообразную. В том случае, когда первообразная некоторой элемен-

через элементарные функции. Если же интеграл не выражается через элементарные функции, то говорят, что интеграл “не берется”.

Так, например, мы уже указывали, что первообразные от дифференциальных биномов, не принадлежащие к трем рассмотренным видам, не выражаются через элементарные функции.

Приведем еще примеры “неберущихся” интегралов, кото-

31

рал).

Во всех подобных случаях первообразная представляет собой некоторую новую функцию, которая не сводится к комбинации конечного числа элементарных функций. Многие из этих первообразных хорошо изучены, для них составлены подробные таблицы значений для различных значений аргумента x.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. Учебное пособие / Г.Н. Берман. СПб.: Профессия, 2001.

–432 с.

2.Бугров Я.С. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. М.: Наука, 1988. – 432 с.

3.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. для втузов. В 2-х т. Т. 1. / Н.С. Пискунов. М.: Интеграл-Пресс, 2001. – 416 с.

4.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д.Т. Письменный. М.: Айрис-пресс, 2006. – 608 с.

5.Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа: Учебное пособие для втузов. Под ред. А.В.Ефимова и Б.П. Демидовича. М.: Наука, 1986. – 464 с.

32

СОДЕРЖАНИЕ

1.Понятие неопределенного интеграла…………………………. 1

2.Таблица неопределенных интегралов……………………….....2

3.Свойства неопределенных интегралов…………………….....3 Задачи для самостоятельного решения………………………. 6

4.Интегрирование методом замены переменной………………..7

Задачи для самостоятельного решения………………………..9

5.Интегрирование по частям…………………………………….10

Задачи для самостоятельного решения………………………12

6.Интегрирование дробно-рациональных функций…………....12

6.1.Простейшие рациональные дроби и их интегрирование..12

6.2.Разложение рациональной дроби на простейшие……….15

6.3.Интегрирование любых дробно-рациональныхфункций.17 Задачи для самостоятельного решения……………………….19

7.Интегрирование тригонометрических функций……………..20 Задачи для самостоятельного решения………………………25

8.Интегрирование иррациональных функций………………….26

8.1.Дробно-линейная подстановка…………………………….26

8.2.Тригонометрические подстановки………………………...27

8.3.Интегрирование дифференциальных биномов…………...29 Задачи для самостоятельного решения………………………...30

9.Об интегралах, которые не выражаются через элементарные функции…………………………………………........................31

10.Библиографический список…………………………………..32

33