Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методическое пособие 296

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

795.07 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

											x		5	2x					3		4x 4													2						4x 2
и											x			2x							4x 4					x 2								2						4x 2					.
и													x	4	2x						3	2x			2	x 2								x	2			x	2	2x 2					.
														4							3				2										2				2

Интегрируем полученное равенство:
	x	5	2x				3		4x 4																		2							4x			2						x		2					2
	x		2x						4x 4						dx								x	2			2							4x			2				dx		x			2x				2
		x	4	2x					3	2x			2		dx								x	2			x	2				x	2								dx			2		2x				x
			4						3				2															2					2
																																		2x 2
				4x 2							dx.
		x 1						2

										1
										1
Обозначим											x 1 t							, тогда						x t 1					,		dx dt						. Таким образом,
		4x 2									dx					4t 4 2								dt			4			t dt						2			dt			4		1		ln		t2
					2															2										2									2
	x 1																																																1
	x 1									1								t			1								t		1							t			1			2
																	x2
2arctg t C 2 ln																	x2					2x			2	2arctg								x 1				C.
Окончательно получим:
	x	5	2x			3		4x 4												x		2				2
	x		2x					4x 4						dx						x		2x				2	2ln						x2 2x 2									2arctg					x			C.

			4					3				2																																				1
		x	4	2x				3		2x		2									2					x
		x		2x						2x											2					x

Отметим, что интеграл от любой рациональной функции может быть выражен через элементарные функции.

Задачи для самостоятельного решения

	x	2	4x 4
1.	x x				2	4			dx


4.		2	x 7						dx
	x				4x		5


7.		2		x 4					dx
	x				2x
							10
10.	x				3			dx


				x2 3

2.		4x 3							dx
	x	2	x 3


5.		2	x 6						dx
5.		2	2x						dx
	x		2x						10
8.					xdx

	(x			1)		2	(x		2)
	(x			1)			(x		2)
			x	2	2x 4
				2
11.								x2 4		dx

			x 1


3.	x2 x 2							dx
3.					x 1			dx
					x 1
6.		2				x 2				dx
	x	2					6x 13


				x		2	6x 6
9.	x		2		3x x					2	dx
9.											dx

					6x 3				dx
12.
12.		x(x2 1)

13.
16.
16.
19.

		x	3	dx

(x	2	1)(x 1)

x8x 1

x 4 x2 1 dx

x2 8x 8

x2 2x x 4 dx2

14.

17.

20.

					x 3				dx
						x2			dx

	x 1							3
				(3x 7)dx
x		3			4x	2	4x 16
x					4x		4x 16
		x		2	8x 4
				2
	x2		4x							dx

								x 1

15.


18.
21.

	x		2	4x 2
			2
x	2		x			x 2			dx
x			x			x 2

					dx
x		3	x		2	4 x 4
x			x			4 x 4
				3 2x					dx
	x		2				x2		dx

								3

7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Рассмотрим интегралы от некоторых классов тригонометрических функций. Функцию с переменными sin x и cos x , над которыми выполняются рациональные действия (сложения, вычитания, умножения и деления), обозначают R sin x, cos x .

Вычисление интегралов вида

R sin x, cos x dx

сводится к

вычислению интегралов от рациональной функции с помощью

подстановки	t tg	x	, которая называется
		2

нометрической подстановкой. Выразим

tg	x	, а следовательно, и через t:
	2

универсальной триго-

sin x и cos x через

	2sin		x	cos	x			2sin				x		cos	x				2tg	x
	2sin		2	cos	2			2sin				2		cos	2				2tg	2
sin x			2		2							2			2					2
sin x			1							x						x					x
			1				sin		2	x		cos			2	x		1+tg		2	x
							sin			2		cos				2		1+tg			2
										2						2					2
	cos2	x	sin		2 x			cos2				x		sin2			x		1 tg2				x
cos x	cos2	2	sin			2		cos2				2		sin2			2		1 tg2				2
		2				2						2					2						2
			1					sin		2 x			cos			2			1+tg		2	x
			1							2 x						2	x				2	x
											2						2					2
											2						2					2

2t 1 t2

t2 . t2

	x	2arctg t , dx				2dt			.
	x	2arctg t , dx				1	t		.
								2
Поэтому		2t		1 t			2
		2t		1 t	2		2
R sin x, cos x dx R		1 t	2 ;	1 t	2	1	t	2 dt
		1 t		1 t		1	t
где	R1 t – рациональная функция от t.

	t dt
R	t dt
1

Часто этот способ оказывается весьма громоздким, зато он всегда приводит к результату.

На практике применяют и другие, более простые подстановки, в зависимости от вида подынтегральной функции. В частности, удобны следующие правила:

1. Если интеграл имеет вид

R sin

x cos

, то подста-

новка t sin x ,

dt cos x dx

приводит этот интеграл к виду


R t dt .
2. Если интеграл имеет вид			R cos x sin x dx , то подста-
2. Если интеграл имеет вид			R cos x sin x dx , то подста-
новка t cos x ,	dt sin x dx	приводит этот интеграл к виду

dt .

3. Если интеграл имеет вид

R tg

x dx

, то подстановка

arctg t

	dx	dt
	dx	t
	1	t
		2

приводит этот интеграл к интегра-

лу от рациональной функции		R

4. Если интеграл имеет вид

	dt	.
1	t	.
	2

R sin x, cos x dx , но

sin x

cos x входят подстановка нально через

только в четных степенях,

t tg x , так как	sin	2	x	и	cos

tg x :

то применяется та же

2	x	выражаются рацио-

cos	2	x	1
	2
			1 tg			2	x
						2

			tg	2		x
sin	2	x	tg			x
	2
			1 tg			2	x
						2

		dx				dt
		dx			t
			1		t
							2

1t2

После подстановки мы получим интеграл от рациональной функции.

Пример 1. Найти

dx 3 sin x cos x

. Сделаем универсаль-

ную подстановку	t tg	x	. Тогда	dx	2dt		,	sin x	2t
		2			1 t	2			1 t	2

		1 t			2
					2
cos x		1		t	2	. Следовательно,
		1		t

					dx											2dt							2			2	dt
																							2			2

	3 sin x cos x														3			2t	2	1 t			2		t		t 2
																			2				2
											1 t2						1	t		1	t
																	1	t		1	t
							1						t			1								1 2 tg				x
				d t			2		2				t			2				2				1 2 tg				2
							2		2		arctg					2	C			2		arctg						2	C.
							2

					1			7	7						7 2					7							7
			t		1			7	7						7 2					7							7
			t		2			4
					2			4
												sin	3	x
	Пример 2. Найти										2	sin		x		dx . Приведем этот интеграл к
	Пример 2. Найти															dx . Приведем этот интеграл к
												cos x
виду		R cos x sin x dx								. Получим:
виду		R cos x sin x dx								. Получим:

sin	3	x		sin	2	x sin x
			dx				dx
2 cos x				2 cos x

1 cos2 x sin

2 cos x

x dx

Сделаем замену t cos x , тогда dt sin x dx . Следовательно,

1 cos

1 t

cos x

sin x dx

2 t

t 2

cos

2t 3ln t 2

2cos x 3ln cos x 2 C.

cos

Пример 3. Найти

. Приведем этот интеграл к

sin

виду

sin x cos x dx . Получим:

cos

x cos x

1 sin

cos x dx .

sin

Сделаем замену t sin x

, тогда

dt cos x dx . Следовательно,

1 sin

2 x

1 t

cos x dx

sin

3sin3 x

sin x

Пример 4. Найти

. Так как sin x

входит только в

1 sin

четной степени, то сделаем замену

, тогда

arctg t

, sin

. Следовательно,

1 t

1 sin2 x

t 2

2t 2 1

1 t

arctg

tg x C.

arctg

2 t C

5. Рассмотрим теперь интегралы вида

	sin	m
	sin

d 2

2 t 2

x cos	n

dx , где

m и n – целые числа. Для нахождения таких интегралов используют следующие приемы:

а) подстановка

sin

, если n – положительное нечетное

число;

б) подстановка

t cos x , если m – положительное нечетное

число;

в)

формулы

понижения

степени

cos

1 cos 2x

sin

1 cos 2x

, sin x cos x

sin 2x , если m и n –

неотрица-

тельные четные числа;

г) подстановка

t tg x

, если

m n – отрицательное чет-

ное число.

Пример 1. Найти

sin

x cos

x dx .

Сделаем подстановку

sin

, тогда

x arcsin t ,

dx	dt
	1	t

		2

cos x	1 sin	2	x	1 t	2	. Следовательно,

x cos5

sin

x dx

1 t2

1 t 2

1 t

sin

2sin

sin

Пример 2. Найти

sin

x dx . Используя формулы пониже-

ния степени, получим:

1 cos 2x

sin4

x dx

sin2 x

1 2 cos 2x cos2 2x

sin 2x

1 cos 4x

x sin 2x

sin 4x

Пример

Найти

cos 1

x sin 3 x dx .

Здесь

cos x sin3 x

m n 4 – отрицательное четное число, следовательно, сдела-

ем замену

, тогда

arctg t

	dx	dt
	dx	t
	1	t
		2

	sin x	t
	sin x	t
	1	t
		2

cos x	1	. Следовательно,
cos x	t	. Следовательно,
1	t
	2

											dt
		dx								1 t		2				1	t		2
		dx		3	dx					1 t			3			1	t
				3									3					3
								1				t
cos x sin					x			1				t					t
												1 t
								1 t		2				2	3
										2

	1		ln	t	C		1	ctg	2	x ln tg x C.
									2
	2t	2					2
		2

	6.		Интегралы					типа					sin ax cos bx dx
	6.		Интегралы					типа					sin ax cos bx dx
sin ax sin bx dx						вычисляются							с		помощью
sin ax sin bx dx						вычисляются							с		помощью

dt	1		1	dt
		3

	t		t

,		cos ax cos bx dx ,

известных формул

тригонометрии:

sin cos
cos cos
sin sin
Пример.
sin 5x sin 3x	1	cos
	2

1 sin

1 cos

2x cos 8x dx

sin ,
cos		,
cos .
sin 2x	sin 8x	C
4	16

Задачи для самостоятельного решения

1.
4.

cos3xdx 4 sin3x

4sin x 3cosx 5

sin x

2. 2 sin xdx

sin x

5. 2 sin xdx

	cosx	dx
3.	5 4cos
		x

cosxdx

6.1 cosx

7.	tg	2	3xdx

10.	sin	3		x cos		2		xdx



13.	sin	2			x cos		2	xdx


16.	sin 4x cos5xdx

19.	sin		2		x sin				5	x cos

8.	sin	4	2x cos 2xdx

11.	cos		3	2xdx


14.	sin	4		xdx


17.	sin	3		xdx


xdx	20.				8 sin	2	x

9.	cos	4	2x sin 2xdx

12.		sin	3	2xdx


15.	sin x cos 2xdx
18.		cos3x sin 5xdx

cos xdx		21.			cos	4	2xdx

8.ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

8.1.Дробно-линейная подстановка

		m
		m
Рассмотрим интеграл	R x, x	n	,...,
Рассмотрим интеграл	R x, x		,...,

нальная функция от своих аргументов.

	r
x	s	dx , где R – рацио-
	s

Пусть k – наименьшее

общее кратное знаменателей дробей mn ,..., rs . Сделаем подста-

новку:

t k

dx k t	k 1	dt

Тогда каждая дробная степень x выразится через целую степень t и, следовательно, подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от t.

Пример 1. Найти	4		3	x	dx
	4		3

		x		1

общее кратное знаменателей дробей



1
2

		1
	x
		2
	3
	4
	4
		3
		4

dx . Наименьшее

равно 4. Поэтому

делаем подстановку x t 4

, тогда dx 4t3dt . Следовательно,

dt 4

4 x3 1

									4					3						4t								4
4			t			dt					d		t		1									3					ln t			1 C
																								3
				2					3			t		1								3						3			3
				2																											3
													3
													3
	4					3				3
		x				4	ln x			4	1 C.
						4				4
	3
	3
			Рассмотрим теперь интеграл вида
												m															r
												m															r
						ax b					n				ax					b s									dx . Этот интеграл сводится к ин-
	R		x,										,...,


						cx			d						cx				d

тегралу от рациональной функции с помощью подстановки
																									ax b					t			k	,
																																	k
																									cx d
где			k				–		наименьшее												общее									кратное						знаменателей									дробей
m	,...,				r		.
n	,...,				s		.
n					s
			Пример 2. Найти																											dx													dx					.
																														2											2						1

																						3			x 2									x 2									x
																									x 2									x 2					x 2 3				x				2 2

Наименьшее общее кратное знаменателей дробей																																									2	и		1	равно
Наименьшее общее кратное знаменателей дробей																																									3	и		2	равно
																																									3			2
6. Поэтому										делаем							подстановку																	x 2 t			6	, тогда						x t		6	2	,
6. Поэтому										делаем							подстановку																	x 2 t				, тогда						x t			2	,
						5	dt ,		t		6	x		2		. Следовательно,
dx 6t							dt ,		t			x		2		. Следовательно,
								dx											6t				5		dt						t	2	dt								1
								dx											6t						dt						t		dt								1
								2										t		4		t				3		6			t			1	6		t	1			t 1
	3	x 2									x 2							t				t									t			1							t 1
3t		2	6t 6ln t 1 C 3																						3		x 2 6							6	x 2 6ln					6	x		2 1 C.
		2																							3									6						6

8.2. Тригонометрические подстановки

Интегралы вида

R x, a2 x2 dx , R x, a2 x2 dx , R x, x2 a2 dx

приводятся к интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций, с помощью следующих тригонометрических подстановок: x a sin t для первого интеграла;

x a tg t

грала.

для второго интеграла;

	x	a
	x	sin t
		sin t

для третьего инте-

Пример 1. Найти

4 x2

. Сделаем подстановку

x 2sin t , тогда dx 2 cos t dt , t

arcsin

. Следовательно,

4 x

4 4sin

4 cos

1 sin

2 cos t dt

4sin

sin

dt ctg t t

C ctg

arcsin

sin

4 x

1 sin

4 x

arcsin

ctg t

sin t

Интегралы вида

ax2 bx c

вычисляются сле-

дующим образом. Выделим под корнем полный квадрат:

						b	2
ax	2	bx c				b
ax		bx c		a x
						2a
Сделаем подстановку			x	b	t ,	dx dt .
Сделаем подстановку			x	2a	t ,	dx dt .
				2a

занного типа приводятся к интегралам

типа, т.е. к интегралам типа

R t,

dt ,

R t,

dt ,

	b	2
		2
c			.
	4a

Тогда интегралы ука-

уже рассмотренного

R t,	t	2	a	2	dt .

Эти интегралы можно вычислить с помощью соответствующих тригонометрических подстановок.

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022782.86 Кб3Методическое пособие 291.pdf
#
30.04.2022784.93 Кб4Методическое пособие 292.pdf
#
30.04.2022790.13 Кб3Методическое пособие 293.pdf
#
30.04.2022794.4 Кб2Методическое пособие 294.pdf
#
30.04.2022794.89 Кб4Методическое пособие 295.pdf
#
30.04.2022795.07 Кб2Методическое пособие 296.pdf
#
30.04.2022795.19 Кб7Методическое пособие 297.pdf
#
30.04.2022799.82 Кб3Методическое пособие 298.pdf
#
30.04.2022805.01 Кб10Методическое пособие 299.pdf
#
30.04.20221.44 Mб2Методическое пособие 3.doc
#
30.04.2022157.85 Кб3Методическое пособие 3.pdf