Методическое пособие 267

значения варьируемых независимых переменных (факторов), приводящих к экстремуму некоторый критерий оптимальности (функцию отклика).

Поиск функции отклика осуществляется при выполнении определенным образом спланированных экспериментов. Процедура поиска строится таким образом, чтобы локализовать искомый оптимум в так называемом факторном пространстве с требуемой точностью, выполнив при этом минимально возможное число опытов.

Методы поиска оптимума при постановке многофакторного эксперимента основаны на аппроксимации полученных результатов в уравнении регрессии в виде полинома той или иной степени.

В общем виде функцию оптимума можно записать так:

где x1, x2,..., xk - изучаемые независимые переменные (факторы).

Традиционно данная задача решалась путем постановки пассивного эксперимента, в котором из k независимых экспериментов в каждой серии опытов фиксируется на постоянном заданном уровне (k - 1) факторов, и затем последовательно изучается зависимость функции отклика только от одной переменной (фактора). При этом считается, что суммарное воздействие изучаемых факторов можно оценить по индивидуальному влиянию каждого из них, что обычно бывает неверным. Поэтому постановка пассивного эксперимента, как правило, не приводит к получению оптимума и, кроме того, требует выполнения большого объема экспериментальных исследований.

Современная методология поиска оптимума функции нескольких независимых переменных (факторов) сводится к выполнению так называемого активного эксперимента, в котором поиск ведется согласно строгим правилам – алгоритмам, а не случайным образом. Кроме того, использование методов планирования многофакторных экспериментов позволяет при минимальном количестве опытов в соответствии с выбранным планом получить математическую модель, описывающую изучаемый процесс, найти оптимальные условия его протекания. Вид математической модели может быть различным, но желательно, чтобы она была более простой, и главное - адекватной. Последнее означает то, что модель должна быть способна предсказывать результаты влияния изучаемых факторов с достаточной для конкретно решаемой оптимизационной задачи точностью. Окончательный вид математической модели получается после выполнения дисперсионного анализа.

В современной теории математического планирования многофакторных экспериментов разработано несколько эффективных методов поиска оптимума функции отклика. В данной лабораторной работе будут рассмотрены два наиболее часто применяемых на практике метода планирования экстремальных экспериментов Бокса-Уилсона. Их сущность сводится к тому, что вначале выбирается вид функции, которой можно описать исследуемый процесс. Для оптимизационных задач это обычно полином второй степени. За-

21

тем составляется соответствующий план эксперимента и его матрица, выполняются требуемые опыты. Заключительной частью является дисперсионный анализ полученных данных, в результате выполнения которого получается расчетное уравнение регрессии, связывающее критерий оптимизации с величинами входных переменных изучаемого процесса. В дальнейшем полученная зависимость может быть подвергнута исследованию на экстремум с целью определения точного значения оптимума.

Непосредственно само планирование экспериментальных исследований сводится к тому, чтобы наметить такие значения экспериментальных точек (исходных параметров – факторов), которые охватывали бы всё так называемое факторное пространство и которые при минимальном числе опытов позволяли бы получить несмешанные оценки коэффициентов уравнения регресии, отражающих влияние факторов и их взаимодействий в полиномиальной модели.

Основой математического планирования многофакторных экспериментов является полный факторный эксперимент (ПФЭ), в котором реализуются всевозможные неповторяющиеся комбинации уровней факторов, располагаемых в вершинах и в центре условного гиперкуба. При числе факторов, равном двум – это квадрат, трём – куб. Принято реальные значения уровней изучаемых факторов кодировать следующим образом: меньшее из принимаемых значений, которое называется нижним уровнем, обозначается «-1»; большее, которое называется верхним уровнем – «+1», а среднее значение записывается как «0».

Для аппроксимации на основании полученных данных полинома второй степени для каждой независимой переменной опыты должны быть поставлены как минимум в трех точках факторного пространства. В этом слу-

где k - число исследуемых факторов.

Как видим, число планируемых опытов быстро возрастает с увеличением количества изучаемых независимых переменных. Чтобы уменьшить число опытов и в то же время иметь возможность получать адекватные полиномиальные модели, были разработаны соответствующие математические методы (так называемые дробные реплики).

В данной лабораторной работе предлагается освоить два метода планирования многофакторных экспериментов при решении оптимизационных задач. Первый – полный факторный эксперимент 3k ; второй представляет собой разновидность неполного факторного эксперимента, получившего достаточно надежное математическое обоснование, ядро которого составляет ПФЭ 2k . К нему добавляется 2k так называемых звездных точек, располагаемых на координатных осях факторного пространства с координатами ( ; 0) и (0;), где - звездное плечо, равное расстоянию от центра плана (нулевой

22

точки) до звездной точки. Соответствующие планы получили название композиционных планов Бокса-Уилсона.

Значение звездного плеча в виде 2 определяется из табл. 4.1

Таблица 4.1

Значения 2

На рис. 4.1 и 4.2 представлено схематическое изображение рассматриваемых планов, когда число изучаемых факторов k равно двум.

Если k = 3, то схематически композиционный план будет выглядеть так, как на рис. 4.3.

Расчетное уравнение регрессии в виде полинома второй степени при k = 2 запишется следующим образом:

где у - критерий оптимизации (расчетный); b0 - свободный член;

b1,b2 , - коэффициенты, отражающие силу влияния каждого фактора в

отдельности;

b12 - коэффициент, учитывающий силу парного взаимодействия изучае-

мых факторов;

b11,b22 - коэффициенты, отражающие степень кривизны изучаемой

зависимости. Если k = 3, то

где b123 - коэффициент, учитывающий силу совместного воздействия трех факторов.

23

-

Рис. 4.2. Схема композиционного плана (k = 2)

24

хо2

Рис. 4.3. Схема композиционного плана при k = 3

План экспериментальных исследований для двух факторов в табличной форме в случае применения ПФЭ 32 будет иметь следующий вид (табл. 4.2).

25

В том случае, когда используются композиционные планы БоксаУилсона, они представляются в виде табл. 4.3. В качестве примера дается более сложный композиционный план, когда k = 3.

Таблица 4.3

Композиционный план с дополнением в виде звездных точек (k = 3)

Для расчета коэффициентов уравнения регрессии необходимо дополнить этот план до матричной формы. Для этого в него вводится столбец так называемой фиктивной переменной х0, всем значениям которой в кодированном виде присваивается знак «+1». Кроме того, вводятся столбцы произведений х1х2, х1х3, х2х3, учитывающих парные взаимодействия, получаемые искусственно путем перемножения соответствующих значений факторов в ко-

дированном виде, а также столбцы квадратичных членов x12 , x22 и x32 , учи-

тывающих степень кривизны функциональной зависимости. Тогда рассматриваемый композиционный план в матричной форме будет иметь следующий вид (табл. 4.4).

Матрица такого вида носит название информационной. Являясь неортогональной (ортогональность – это обязательное условие для выполнения расчетных действий с матрицей планирования), она не позволяет вычислить все коэффициенты уравнения регрессии, в частности, коэффициенты при

квадратичных членах уравнения регрессии b11,b22,b33. Ортогональность мат-

рицы композиционного плана достигается специальным ее обращением и применением условия равенства нулю недиагональных элементов матрицы. Для обращения информационной матрицы в ортогональную выполняется следующее преобразование квадратичных столбцов xi2 . Вводится величина

где N – число опытов в плане эксперимента (в данном случае N = 15).

26

Следовательно:

После выполнения операции обращения матрицы композиционный план в матричной ортогональной форме будет представлен в виде табл. 4.5.

Как видим, экспериментальная часть трехфакторного эксперимента будет состоять из 14 опытов, в каждом из которых заданы исходные значения независимых переменных (факторов). Опыт № 15 ставится в нулевой точке,

то есть в центре плана (n0 = 1). Величина 2 и соответственно длина звездного плеча определяются для композиционного плана по табл. 4.1 при n0 = 1

№ 15, так же как и остальных (№ 16, № 17), в дальнейшем будут использованы для определения дисперсии воспроизводимости при дисперсионном анализе полученных данных.

После выполнения экспериментальной части работы и получения средних значений критерия оптимизации yi приступают к расчету коэффициен-

тов уравнения регрессии и определению их значимости.

Независимые оценки коэффициентов уравнения регрессии bi рассчитываются по формуле

Значимость этих коэффициентов определяется с помощью критерия Стьюдента ti:

где bi - абсолютное значение коэффициентов уравнения регрессии;

Sbi – ошибка, с которой определяются эти коэффициенты.

Для определения Sbi необходимо знать дисперсию воспроизводимости Sвоспр2 , которая вычисляется с использованием данных дополнительно по-

ставленных опытов в нулевой точке с учетом такого же опыта, входящего в план многофакторного эксперимента (это опыты № № 16, 17, 18 и 9 в табл. 4.5). Для этого надо определить среднее значение критерия оптимизации в нулевой точке по формуле

27

Оценка среднеквадратического отклонения Sвоспр определяется как

Тогда ошибку для свободного члена b0 можно вычислить по формуле

где N – число опытов в плане многофакторного эксперимента (№ 15). Ошибка для коэффициентов, отражающих силу влияния на критерий

оптимизации каждого изучаемого фактора х1, х2,…,хk в отдельности, определяется по формуле

Ошибка для коэффициентов, учитывающих силу парного взаимодействия факторов, равна

и, наконец, ошибку для коэффициентов, отражающих степень кривизны изучаемой зависимости, можно определить по формуле