Методическое пособие 252

8) решить систему алгебраических уравнений для предельных вероятностей P1, P2 , P3, P4 любым аналитическим способом

(вручную), либо воспользоваться пакетом Maple, либо сделать это на Pascal.

УСЛОВИЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВАРИАНТОВ № 17-№ 25

Сварочный цех предприятия в среднем n1 раз в месяц по техническим причинам аварийно выходит из строя, и ремонтируется в среднем 1 дней. При этом, n2 раз в месяц производится диагностика, которая, в среднем, занимает 2 дня. В результате диагностики происходит один из трех вариантов: 1) сварочный цех продолжает работу, 2) сварочный цех останавливается на профилактику, 3) сварочный цех производит аварийный ремонт. Наблюдения показали, что числа указанных вариантов относятся как p:q:w . Переход к производству по второму варианту через профилактику занимает в среднем 3 дня для произведения профилактики. Третий вариант, связанный с остановкой цеха и проведением аварийного ремонта в цеху, занимает в среднем 1 дней.

Требуется:

1)построить граф состояний системы «сварочный пост», определить интенсивности переходов между состояниями системы,

2)составить матрицу интенсивностей переходов,

19

3)составить систему дифференциальных уравнений ЧепменаКолмогорова для вероятностей состояний Pi (t),

4)сформулировать задачу Коши для полученной системы,

задав начальные условия для вероятностей состояний P1(0) 1,

P2 (0) 0 , P3 (0) 0, P4 (0) 0 ,

5) решить задачу Коши численно с помощью метода Эйлера, воспользовавшись программой, написанной на Pascal, по результатам построить графики зависимостей Pi (t),

6) решить задачу Коши численно с помощью метода РунгеКутта, воспользовавшись пакетом Maple, получить графики зависимостей Pi (t)

7)получить систему алгебраических уравнений для предельных вероятностей состояний,

8)решить систему алгебраических уравнений для предельных вероятностей P1, P2 , P3, P4 любым аналитическим способом

(вручную), либо воспользоваться пакетом Maple, либо сделать это на Pascal.

Таблица 3

20

Пример решения задания

Сварочный пост предприятия в среднем n1 3 раз в месяц по техническим причинам аварийно выходит из строя и

связанных с качеством шва, относится к доле ошибок, приводящих к аварийному выходу из строя оборудования, как 5:1 (p=5, q=1). Если ошибка связана с качеством шва, то обнаружение и исправление ошибки требует в среднем 2 2 часа. Если ошибка связана с неправильно выбранным режимом эксплуатации, то она приводит к аварийному выходу из строя оборудования в среднем в течение 3 1 часа. Аварийно вышедшее из строя оборудование ремонтируется в среднем попрежнему 1 3 дня. Кроме того, в

среднем n4 6 раз в месяц происходит сбой в качественной работе сварочного поста по причине некачественных расходных материалов. На обнаружение сбоя, сказавшегося на качестве сварки, и исправление детали уходит по-прежнему 4 2 часа.

Требуется:

1)построить граф состояний системы «сварочный пост», определить интенсивности переходов между состояниями системы,

2)составить матрицу интенсивностей переходов,

3)составить систему дифференциальных уравнений ЧепменаКолмогорова,

4)сформулировать задачу Коши для полученной системы, задав начальные условия для вероятностей состояний,

5)решить задачу Коши численно с помощью метода Эйлера, воспользовавшись программой, написанной на Pascal, по

результатам построить графики зависимостей Pi (t),

6) решить задачу Коши численно с помощью метода РунгеКутта, воспользовавшись пакетом Maple, получить графики зависимостей Pi (t)

7) получить систему алгебраических уравнений для предельных вероятностей состояний,

21

8) решить систему алгебраических уравнений для предельных вероятностей любым аналитическим способом (вручную), либо воспользовавшись пакетом Maple, либо сделать это на Pascal.

Решение.

1). Рассматривается система S – «сварочный пост», которая

среднего числа переходов из i-го состояния в j-ое состояние за единицу времени «день» (месяц содержит 30 рабочих дней), где

(три поломки оборудования в месяц по условию). Так как среднее время ремонта оборудования при поломке 1 3 дня, то

(сварщик совершил ошибку) в состояние S1 (качественная работа) 22

обратно пропорциональна времени диагностики ошибки и ее

выбранным режимом, приводит к аварийной поломке

одна шестая часть общего числа ошибок приводят к поломке

причине некачественных расходных материалов равна среднему числу появления в течение дня таких ситуаций, т.е.

14n4 6 0,2. Интенсивность обратного перехода, связанного

30 30

собнаружением и исправлением дефекта, обратно

пропорциональна времени диагностики ошибки и ее исправления

Размеченный (взвешенный) граф состояний системы с найденными интенсивностями представлен на рисунке 2.

23

Рис. 2

2) Матрица интенсивностей в нашем случае имеет вид

3) Составим систему дифференциальных уравнений ЧепменаКолмогорова

d P(t) P(t) : dt

24

Опыт показывает, что полученные решения больших систем дифференциальных уравнений слишком громоздки и не представляют практического интереса.

5) Для решения задачи Коши численно с помощью метода Эйлера воспользуемся программой, написанной на Pascal.

Program lab_eiler; uses Crt;

var

k,n,i: integer; a,b,h,p10,p20,p30,p40 : real; p1,p2,p3,p4 : array[0..100] of real;

function f1(p1,p2,p3,p4:real):real; begin

f1:= 0.7*p1+0.333*p2+3.333*p3+4*p4; end;

function f2(p1,p2,p3,p4:real):real; begin

f2:= 0.1*p1 0.333*p2+1.333*p3; end;

function f3(p1,p2,p3,p4:real):real; begin

f3:= 0.4*p1 4.666*p3; end;

function f4(p1,p2,p3,p4:real):real; begin

f4:= 0.2*p1 4*p4; end;

begin ClrScr;

write(‘vvedite a:’); readln(a); write(‘vvedite b:’); readln(b);

26

write(‘vvedite n:’); readln(n); write(‘vvedite p10:’); readln(p10); write(‘vvedite p20:’); readln(p20); write(‘vvedite p30:’); readln(p30); write(‘vvedite p40:’); readln(p40);

p1[0]:=p10; p2[0]:=p20; p3[0]:=p30; p4[0]:=p40; h:=(b-a)/n;

k:=0;

for i:=1 to n do begin k:=k+1;

p1[i]:=p1[i 1]+h*f1(p1[i 1],p2[i 1],p3[i 1],p4[i 1]); p2[i]:=p2[i 1]+h*f2(p1[i 1],p2[i 1],p3[i 1],p4[i 1]); p3[i]:=p3[i 1]+h*f3(p1[i 1],p2[i 1],p3[i 1],p4[i 1]); p4[i]:=p4[i 1]+h*f4(p1[i 1],p2[i 1],p3[i 1],p4[i 1]);

if (k=4) then begin

writeln(‘p1[‘ ,i:2, ‘]=’, p1[i]:7:3, ‘p2[‘ ,i:2, ‘]=’, p2[i]:7:3, ‘p3[‘ ,i:2, ‘]=’, p3[i]:7:3, ‘p4[‘ ,i:2, ‘]=’, p4[i]:7:3); k:=0;

end;

end;

readln;

end.

Предполагается, а=0, b=8, n=64, p10=1, p20= p30= p40=0.

Результаты вычислений записываются в таблицу и оформляются в

Продолжение таблицы 4

Для графического оформления табличных данных воспользуемся командой plot.

> p1:=[[0,1],[0.5,0.816],[1,0.753],[1.5,0.707],[2,0.672],[2.5,0.646], [3,0.625],[3.5,0.610],[4,0.599],[4.5,0.590],[5,0.583],[5.5,0.578],[6,0.574 ],[6.5,0.571],[7,0.569],[7.5,0.567],[8,0.566]]: >p2:=[[0,0],[0.5,0.072],[1,0.142],[1.5,0.195],[2,0.235],[2.5,0.265], [3,0.288],[3.5,0.306],[4,0.319],[4.5,0.330],[5,0.337],[5.5,0.343],[6,0.348 ],[6.5,0.351],[7,0.354],[7.5,0.355],[8,0.357]]:

>p3:=[[0,0],[0.5,0.071],[1,0.067],[1.5,0.062],[2,0.059],[2.5,0.056],

[3,0.054],[3.5,0.053],[4,0.052],[4.5,0.051],[5,0.050],[5.5,0.050],[6,0.049

],[6.5,0.049],[7,0.049],[7.5,0.049],[8,0.049]]:

>p4:=[[0,0],[0.5,0.041],[1,0.039],[1.5,0.036],[2,0.034],[2.5,0.033],

[3,0.032],[3.5,0.031],[4,0.030],[4.5,0.030],[5,0.029],[5.5,0.029],[6,0.029

],[6.5,0.029],[7,0.029],[7.5,0.028],[8,0.028]]:

>plot({p1,p2,p3,p4});

28