Методическое пособие 252

Данные пределы интерпретируются следующим образом. Если в момент времени t система находится в состоянии Si , то вероятность перехода в состояние Sj (отличное от Si ) в течение промежутка времени (t,t t) задается в соответствии с теоремами о пределах величиной

Pij (t, t) ij t ( t),

где ( t) - бесконечно малая величина более высокого порядка малости по сравнению с t . Можно сказать, что интенсивность ij

– это среднее число переходов из i-го состояния в j-ое состояние за единицу времени. Если интенсивность ij не зависят от времени t,

то марковский процесс с непрерывным временем называется однородным, противном случае – неоднородным. В дальнейшем рассматриваются однородные марковские процессы.

Величину ii lim1 Pii t, t можно интерпретировать как

t 0 t

интенсивность, с которой система уходит из состояния Si , а

Pii (t, t) 1 ii t 1( t),

где 1 ( t) - бесконечно малая величина более высокого порядка малости по сравнению с t .

Так как по-прежнему за промежуток времени (t,t t) система либо остается в прежнем состоянии, либо переходит в новое, то

Pi1(t, t) Pi2 (t, t) ... Pin (t, t) 1,

из чего следует, что

i1 i2 i3 ... in 0.

Для каждого графа состояний может быть определена матрица плотностей вероятностей переходов или матрица интенсивностей

n1 n2 ... nn

Для системы с графом состояний, изображенным на рисунке 1, матрица интенсивностей переходов имеет вид

10

Элементы матрицы интенсивностей переходов удовлетворяют условию равенства нулю суммы элементов каждой строки. Такая матрица называется дифференциальной (сбалансированной), и для графа состояний на рисунке 1 может быть переписана следующим образом:

дифференциальных уравнений Чепмена-Колмогорова, вид которых зависит от состояний системы и интенсивностей переходов между этими состояниями.

Выведем систему дифференциальных уравнений ЧепменаКолмогорова, для чего рассмотрим Pi (t) — вероятность того, что в момент t система будет в состоянии Si . Придадим времени t малое приращение t и найдем Pi (t t) — вероятность того, что в момент t + t система будет в состоянии Si . Вероятность

Pi (t t) можно найти по формуле полной вероятности

n

Pi (t t) P(Hk )PHK (Sk Si )

k 1

Гипотезами Hk служат попарно несовместные события,

заключающиеся в том, что в момент времени t процесс

11

находится в состоянии Sk . Вероятности гипотез P(Hk ) Pk (t).

Условные вероятности PHK (Sk Si ) перехода системы из состояния Sk в состояние Si при k i равны

PHK (Sk Si )= ki t ( t) .

Условная вероятность PHi (Si Si ) перехода системы из состояния Si в состояние Si будет равна вероятности того,

что не произойдет ни одно из событий, переводящих процесс из состояния Si в другие состояния.

где 1( t) все получающиеся слагаемые второго и выше порядка

малости по t.

Таким образом,

Перенеся Pi (t) в левую часть равенства, разделив обе части равенства на t и перейдя к пределу левой и правой части при t 0, получим n дифференциальных уравнений первого порядка Чепмена-Колмогорова для вероятностей состояний.

В матричном виде уравнения Чепмена-Колмогорова могут быть представлены в виде

d P(t) P(t) , dt

где P(t) P1(t),P2 (t),..., Pn (t) матрица-строка вероятностей

состояний P1 (t), P2 (t), …, Pn (t) системы, а - дифференциальная матрица интенсивностей переходов.

Решая данную систему дифференциальных уравнений при заданных начальных вероятностях P(0) P1 (0),P2 (0),..., Pn (0) с

учетом нормировочного условия

P1(t) P2 (t) ... Pn (t) 1,

можно определить вероятности n состояний марковского случайного процесса в любой момент времени t. Стоит отметить, что уравнения в системе дифференциальных уравнений ЧепменаКолмогорова являются линейно зависимыми, поэтому любое из них может быть заменено условием нормировки.

При составлении дифференциальных уравнений пользуются правилом составления дифференциальных уравнений Колмогорова по размеченному графу состояний:

а) в левой части – производная по времени t от Pi (t);

б) число членов в правой части равно числу стрелок, соединяющих (входящих или выходящих) рассматриваемое состояние с другими состояниями;

в) каждый член правой части равен произведению интенсивности перехода на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка;

г) знак произведения положителен, если стрелка входит (направлена острием) в рассматриваемое состояние, и отрицателен, если стрелка выходит из него.

Проверкой правильности составления уравнений является равенство нулю суммы правых частей уравнений.

13

Систему линейных дифференциальных уравнений ЧепменаКолмогорова с постоянными коэффициентами можно решить различными аналитическими методами: методом исключения неизвестных, или с помощью преобразований Лапласа, а так же различными численными методами: методом ломаных Эйлера или более точным методом Рунге-Кутта.

Особый интерес при рассмотрении динамических систем вызывает их стационарное поведение, возникающее при достаточно долгом функционировании системы (задача стабилизации системы). В некоторых случаях существуют

предельные (финальные) вероятности состояний: Pi lim Pi (t) ,

t

где i=0,1,…,n, не зависящие от того, в каком состоянии система S находилась в начальный момент. Говорят, что в системе S устанавливается предельный стационарный режим, в ходе которого она переходит из состояния в состояние, но вероятности состояний Pi уже не меняются.

Финальные вероятности не зависят от времени, что приводит к обращению в ноль производных в системе дифференциальных уравнений. При этом система дифференциальных уравнений существенно упрощается, превратившись в систему линейных алгебраических уравнений:

или в матричном виде

P(t) 0 ,

Решая систему алгебраических уравнений с учетом условия нормировки

P1+ P2 + …+Pn =1,

получим все предельные вероятности. Эти вероятности представляют собой не что иное, как среднее относительное время

14

пребывания системы в данном состоянии, и характеризуют стабилизацию в поведении системы.

Следует отметить, что интенсивности переходов между состояниями в дискретных марковских процессах с непрерывным временем связаны с понятием потока событий, т.е. удобно представить переход системы из состояния в состояние как воздействие некоторых потоков событий (поток ошибок оператора, поток заявок на обслуживание). Потоком событий называется последовательность событий, наступающих одно за другим в какие-то случайные моменты времени.

Различают следующие основные свойства потоков случайных событий: стационарность, ординарность, отсутствие последействия.

Поток событий называется стационарным, если вероятность наступления того или иного числа событий за какой-либо промежуток времени зависит только от длины этого промежутка и не зависит от момента его начала на оси времени. Стационарность потока означает, что его вероятностные характеристики не изменяются с течением времени.

Поток событий называется ординарным, если вероятность наступления за малый промежуток времени более одного события можно пренебречь. Ординарность потока означает, что события в нем за достаточно малый промежуток времени либо не наступили, либо наступают по одному.

Поток называется потоком без последействия (или потоком без памяти), если для любой пары непересекающихся промежутков времени число событий, наступающих за один из них, не зависит от числа событий, наступающих за другой промежуток времени.

Поток событий, обладающий свойствами отсутствия последствий и ординарности, называется пуассоновским. Стационарный пуассоновский поток называется простейшим. В простейшем потоке событий промежуток времени между двумя событиями распределен по показательному закону распределения,

интенсивность потока. Таким образом, плотность вероятности перехода из состояния Si в состояние S j (интенсивность перехода

15

ij ) интерпретируется как интенсивность соответствующих потоков.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ

УСЛОВИЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВАРИАНТОВ № 1-№ 8

Качественно работающий сварочный пост предприятия находится в состоянии S1. В среднем n1 раз в месяц по техническим причинам сварочный пост аварийно выходит из строя (состояние S2 ) и ремонтируется в среднем 1 дней. Сварщик данного поста в среднем совершает за месяц n2 ошибок. При этом система «сварочный пост» переходит в состояние S3. Доля ошибок, связанных с нарушением качества шва, относится к доле ошибок, приводящих к аварийному выходу из строя оборудования, как p:q . Если ошибка связана с качеством шва, то обнаружение и исправление ошибки (брака) требует в среднем 2 часов. Если ошибка связана с неправильно выбранным режимом эксплуатации, то она приводит к аварийному выходу из строя оборудования в среднем в течение 3 часов. Аварийно вышедшее из строя оборудование ремонтируется в среднем попрежнему 1 дней. Кроме того, в среднем n4 раз в месяц происходит сбой в качественной работе сварочного поста по причине некачественных расходных материалов (состояние S4 ). На обнаружение сбоя, сказавшегося на качестве сварки, и исправление детали уходит 4 часа.

Требуется:

1)построить граф состояний системы «сварочный пост», определить интенсивности переходов между состояниями системы,

2)составить матрицу интенсивностей переходов,

3)составить систему дифференциальных уравнений Чепмена-

Колмогорова для вероятностей Pi (t),

16

воспользовавшись программой, написанной на Pascal, по результатам построить графики зависимостей Pi (t),

6) решить задачу Коши численно с помощью метода РунгеКутта, воспользовавшись пакетом Maple, получить графики зависимостей Pi (t)

7)получить систему алгебраических уравнений для предельных вероятностей состояний,

8)решить систему алгебраических уравнений для предельных вероятностей P1, P2 , P3, P4 любым аналитическим способом

(вручную), либо воспользоваться пакетом Maple, либо сделать это на Pascal.

Таблица 1

УСЛОВИЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВАРИАНТОВ № 9-№ 16

Сварочный автомат может находиться в нормально работающем состоянии S1. Однако, в среднем n1 раз в месяц сварочный автомат переходит в нерабочее состояние S2 , в котором он подвергается осмотру в течение 1 часов. В результате осмотра сварочный автомат либо ремонтируется (состояние S3), либо заменяется новым (состояние S4 ). Число осмотров, после которых производится ремонт автомата, относится к числу осмотров, после которых возможна только замена сварочного автомата, относится

выбрасывания испорченного сварочного автомата и покупки нового. Среднее время на утилизацию испорченного и покупку нового автомата 3 дней.

Требуется:

1)построить граф состояний системы «сварочный автомат», определить интенсивности переходов между состояниями системы,

2)составить матрицу интенсивностей переходов,

3)составить систему дифференциальных уравнений Чепмена-

Колмогорова для вероятностей Pi (t),

воспользовавшись программой, написанной на Pascal, по результатам построить графики зависимостей Pi (t),

6) решить задачу Коши численно с помощью метода РунгеКутта, воспользовавшись пакетом Maple, получить графики зависимостей Pi (t)

7) получить систему алгебраических уравнений для предельных вероятностей состояний,

18