Методическое пособие 252

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»

Кафедра прикладной математики и механики

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к курсовой работе по дисциплине «Специальные главы математики»

для студентов направления 15.03.01 «Машиностроение»

(профиль «Оборудование и технология сварочного производства»)

очной формы обучения

Воронеж 2015

Составители: канд. физ.-мат. наук В.В. Горбунов, канд. физ.-мат. наук Т.И. Костина, д-р техн. наук В.И. Ряжских

УДК 517.2 (07)

Методические указания к курсовой работе по дисциплине «Спец. главы математики» для студентов направления 15.06.01. «Машиностроение» (профиль «Оборудование и технология сварочного производства») очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. В.В. Горбунов, Т.И. Костина, В.И. Ряжских. Воронеж, 2015. 38 с.

Методические указания содержат краткий теоретический материал по моделированию вероятностных (стохастических) систем, двадцать пять вариантов индивидуальных заданий по курсовой работе по специальным главам математики, а также подробно рассмотренный пример решения типового задания.

Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS Word 2007 и содержится в файле Мет.указ. к курс.раб.pdf.

Табл.4. Ил .5. Библиогр.: 4 назв.

Рецензент канд. техн. наук, доц. А.А. Сидоренко

Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. В.И. Ряжских

Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

© ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2015

РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ «СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ

МАТЕМАТИКИ»

Одной из основных целей обучения студента является формирование и развитие навыков самостоятельной работы над учебным материалом. Изучение рекомендованных учебников, решение задач с помощью учебных пособий предполагает использование полученных знаний для практических задач, часто связанных с моделированием и оптимизацией технологических систем.

Курсовая работа, необходимая по учебному плану курса «Спец.главы математики», во-первых, направлена на развитие навыков самостоятельного изучения и анализа источников информации, во - вторых, требует от студента умения математической формализации определенных свойств технологических систем, в-третьих, предполагает развитие навыков использования методов математики для анализа и оптимизации формализованной модели технологического процесса.

Учебный курс «Спец.главы математики» состоит из двух частей: численные методы и теории вероятностей. Курсовая работа требует использования, как элементов теории вероятностей, так и численных методов.

Подвергается моделированию технологическая система, случайным образом меняющая свое состояние. Простейший способ рассмотрения вероятностных (стохастических) систем связан с предположением о независимости от времени вероятностных характеристик систем. Стохастические системы с независимыми от времени характеристиками (системы без последействия) называются марковскими.

Математическое описание марковских процессов обычно представляется в виде систем дифференциальных (в случае нестационарного режима) или алгебраических (для стационарного режима) уравнений для вероятностей нахождения системы в различных состояниях (уравнений Колмогорова), решение

которых можно получить как аналитически в простых случаях, так и с применением численных методов.

Система дифференциальных уравнений Колмогорова составляется после построения графа состояний системы, затем решается различными методами.

Выбор варианта курсовой работы производится путём деления шифра(номера зачётной книжки) на 25 и равен остатку, получающемуся при делении. Например, для зачётной книжки №2432 это вариант №7.

Работа должна быть представлена на проверку до начала экзаменационной сессии. Студент, не получивший положительной оценки за курсовую работу, к зачету не допускается.

ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ

При выполнении курсовой работы требуется строгое соблюдение указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, могут быть не зачтены.

Курсовая работа должна содержать следующие разделы.

1.Титульный лист (приложение 1).

2.Оглавление.

3.Замечания преподавателя.

4.Условие варианта;

5.Практическую часть (решение всех пунктов задания)

6.Заключение.

7.Список использованной литературы.

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ НАПРАВЛЕНИЯ 15.06.01

«МАШИНОСТРОЕНИЕ» ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ

1. Задачи вычислительной математики. Схема Горнера. Методы аппроксимации функций.

2

2.Интерполяционный многочлен Лагранжа.

3.Конечные разности. Интерполяционный многочлен Ньютона.

4.Аппроксимация методом наименьших квадратов.

5.Решение нелинейных уравнений методом половинного деления и методом касательных.

6.Численные методы решения систем линейных уравнений.

7.Численное интегрирование.

8.Численные методы решения задачи Коши дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.

9.Комбинаторика.

10.Алгебра случайных событий.

11.Классическое, статистическое и геометрическое определение вероятности случайного события.

12.Теорема сложения вероятностей. Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей.

13.Формула полной вероятности. Формула Байеса.

14.Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная

иинтегральная теоремы Лапласа.

15.Случайные величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Функция распределения случайной величины. Биномиальное распределение, распределение Пуассона

16.Непрерывные случайные величины. Способы описания непрерывных случайных величин. Основные законы распределения непрерывных случайных величин.

17.Случайные процессы. Марковские процессы. Цепи Маркова.

18.Уравнения Колмогорова.

19.Использование марковских процессов при моделировании в прикладных задачах.

3

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1.Дайте определение случайной величины, случайной функции.

2.Что понимается под случайным процессом? Приведите примеры.

3.Дайте понятие состояния стохастической системы.

4.Какова классификация случайных процессов?

5.Чем отличается дискретный случайный процесс с непрерывным временем от дискретного случайного процесса с дискретным временем?

6.Как называется процесс, в котором переход из одного состояния в другое зависит только от состояния, в котором находится процесс?

7.При каком условии случайный процесс с непрерывным временем является марковским?

8.Какие случайные процессы носят название марковских

цепей ?

9.Дайте определение интенсивности перехода для марковского случайного процесса с непрерывным временем.

10.Какому условию удовлетворяют элементы матрицы интенсивностей переходов?

11.Как называется матрица интенсивностей, сумма элементов каждой строки которой равна нулю?

12.Что понимается под эргодическим свойством случайного процесса?

13.Что описывает граф состояний системы?

14.Какие графические элементы присутствуют в графе состояний системы?

15.Что понимают под предельными вероятностями состояний системы?

16.Что описывают системы дифференциальных уравнений Колмогорова?

17.Какими численными методами можно решать систему Колмогорова?

4

18.Реализации каких численных методов решения задачи Коши систем дифференциальных уравнений на языке Pascal Вам известны?

19.Что предлагается в математическом пакете Maple для решения задачи Коши систем дифференциальных уравнений?

5

СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

Воснове широкого класса технологических процессов или систем лежат вероятностные (стохастические) по своей природе явления. При изучении стохастических систем, которые развиваются во времени в зависимости от ряда случайных факторов, полезной математической моделью является случайный процесс. Для математического описания процессов или систем, развивающихся в форме случайного процесса, может быть применен математический аппарат марковских случайных процессов, разработанный в теории вероятностей.

Втеории вероятностей функция X(t) называется случайной, если ее значение при любом аргументе t является случайной величиной. Случайная функция X(t), аргументом которой является время, называется случайным процессом.

Случайный процесс называется марковским или случайным

процессом без последействия, если для любого момента времени to вероятностные характеристики процесса в будущем будут зависеть только от его состояния в данный момент to, u не зависят от того, как и когда система пришла в это состояние.

Случайный процесс в некоторой технологической системе S представляет собой случайные переходы системы из состояния в состояние. Под системой S понимается всякое множество взаимосвязанных элементов, которое нельзя расчленить на независимые подмножества. Состояние системы S(t) может быть охарактеризовано с помощью одной или нескольких численных переменных. Например, в различные моменты времени в системе количество работоспособных узлов и отказавших узлов может меняться. Если каждому возможному набору работоспособных (или отказывающих) элементов поставить в соответствие некоторое состояние системы, то отказы и восстановления элементов будут отражаться переходом системы из одного состояния в другое.

Разделение на классы марковских случайных процессов производится в зависимости от непрерывности или дискретности множества значений функции X(t) и параметра t. Если множество X

– дискретное, то марковский процесс называется дискретным

6

марковским процессом или цепью Маркова. Если момент времени t изменения значения случайной функции X(t) меняется дискретно, то процесс называется цепью Маркова с дискретным временем. Система в этом случае скачком переходит в одно из своих состояний S0, S1, S2,…, Sn в строго определенные моменты времени. Если же время перехода из состояния Si в состояние Sj системы непрерывное, то процесс называется цепью Маркова с

непрерывным временем.

Стоит выделить в рамках классификации марковских процессов случай, когда множество значений случайного процесса и время t являются непрерывными. Такие процессы называются

непрерывными марковскими процессами. Наиболее важным примером таких процессов являются диффузионные процессы.

В данной курсовой работе рассматриваются цепью Маркова с непрерывным временем. В практике нередко встречаются случайные процессы, которые с определенной погрешностью можно считать цепью Маркова с непрерывным временем.

При исследовании марковских цепей пользуются графическим представлением системы с помощью графа состояний. Теория графов в настоящее время представляется большим и интенсивно развивающимся разделом математики, развитие которого стимулируется наличием огромного числа практических применений. Не вдаваясь в математические подробности, следует отметить, что граф содержит вершины, моделирующие некоторое множество элементов. Вершины часто изображаются кружками. Всевозможные парные отношения между вершинами (отношения смежности, достижимости, несовместности, подчиненности и т.д.) отображаются либо ребрами (линиями без стрелок), соединяющими вершины в неориентированных графах, если отношения не имеют четкой направленности, либо дугами (линиями со стрелки) в ориентированных графах (орграфах), если важно направление в этих отношениях. Во взвешенных графах каждой дуге (ребру) сопоставляется некоторое число (вес, стоимость, длина пути и т.д.). Граф состояний системы представляет собой взвешенный орграф (рис. 1), вершины которого

7

изображают возможные состояния системы Si . Дуги графа

состояний изображают возможные переходы системы из одного состояния в другое и имеют веса, характеризующие интенсивности переходов системы из состояния в состояние.

12

S1 S2

21

31

13

23

S3

Рис.1. Графическое представление цепи Маркова с непрерывным временем

Пусть система имеет конечное число состояний S1 , S2 , …,Sn .

Вероятности этих состояний для любого момента времени t обозначим как P1 (t), P2 (t), …, Pn (t) . Поскольку система обязана

находиться в одном из своих состояний, то указанные вероятности удовлетворяют условию вероятностей для полной группы событий

P1(t) P2 (t) ... Pn (t) 1.

Для процесса с непрерывным временем рассматриваются переходные вероятности Pij (t, t) того, что система, пребывавшая

в момент t в состоянии Si , за время t перейдет из него в состояние Sj . Однако, помимо переходных вероятностей Pij(t, t),

которые при t 0 тоже становятся бесконечно малыми величинами, для описания переходов используются интенсивности

8