1. Введение в методы оптимизации

Литература: [1, 4, 6, 7, 8].

Содержание раздела

1. Общая постановка задачи оптимизации.

2. Основные понятия и определения (целевая функция, ограничения задачи, решение задачи, оптимальное решение или глобальный экстремум).

3. Оптимизационные модели. Структурная и параметрическая оптимизация. Особенности постановки задач при внешнем и внутреннем проектировании.

4. Постановка базовой задачи оптимизации.

5. Формализация технико-эксплуатационных требований, предъявляемых к объекту проектирования.

6. Классификация методов математического программирования (линейное программирование, нелинейное программирование, дискретное программирование, квадратичное программирование, динамическое программирование).

7. Классификация задач оптимизации (одномерные и многомерные задачи, задачи условной и безусловной оптимизации, однокритериальные и многокритериальные задачи, методы нулевого, первого и второго порядка).

8. Характеристики алгоритмов оптимизации (трудоемкость вычислений, точность, сходимость, устойчивость метода к ошибкам в вычислениях, чувствительность метода к значениям параметров).

Теоретические сведения

В наиболее общем смысле теория оптимизации представляет собой совокупность фундаментальных математических результатов и численных методов, ориентированных на нахождение и идентификацию наилучших вариантов из множества альтернатив и позволяющих избежать полного перебора и оценивания возможных вариантов. Процесс оптимизации лежит в основе всей инженерной деятельности.

Важность и ценность теории оптимизации заключается в том, что она дает адекватные понятийные рамки для анализа и решения многочисленных задач:

− в исследовании операций: оптимизация технико-экономических систем, транспортные задачи, управление запасами и т.д.;

− в численном анализе: аппроксимация, регрессия, решение линейных и нелинейных систем, численные методы, включая методы конечных элементов и т.д.;

− в автоматике: распознавание образов, оптимальное управление, фильтрация, управление производством, робототехника и т.д.;

− в математической экономике: решение больших макроэкономических моделей.

В настоящее время теория оптимизации, успешному применению которой способствует бурный прогресс в развитии средств вычислительной техники, вносит заметный вклад в ускорение научно-технического прогресса. Трудно назвать такую отрасль инженерной деятельности, где бы не возникали задачи оптимизационного характера. Это, например, задачи определения наиболее эффективного режима работы различных технических систем, задачи организации производства, дающего наибольшую возможную прибыль при заданных ограниченных ресурсах, транспортные задачи и множество других.

Постановка каждой задачи оптимизации (ЗО) включает в себя два объекта: множество допустимых решений и целевую функцию (функционал), которую следует минимизировать или максимизировать на указанном множестве. С этой общей точки зрения и рассматриваются различные классы экстремальных задач, составляющие предмет линейного, нелинейного, динамического программирования, вариационного исчисления и теории оптимального управления. Обычно наши действия в условиях неоднозначности выбора определяются некоторой целью, которую мы стремимся достичь наилучшим образом. Тем самым человеческая деятельность связана с постоянным (сознательным или бессознательным) решением оптимизационных задач.

Вопросы для самопроверки

1. Обосновать, почему для решения оптимизационных задач необходимо разрабатывать соответствующие методы решения задач, а не использовать возможности ЭВМ по перебору всех возможных решений?

2. Как осуществляется процесс формирования математической задачи и алгоритма ее решения.

3. Виды задач математического программирования.

4. Сформулируйте в общем виде математическую задачу оптимизации.

5. Какие задачи оптимального выбора знаете.