7.2.4. Ограниченность тригонометрических функций

При решении уравнений этого типа существенным является ограниченность функций синус и косинус.

Пример 7.15. Решить уравнение sin 2x – sin 6x + 2 = 0.

Очевидно, что в силу ограниченности функции синус такое уравнение имеет решение в случае одновременного выполнения равенств т.е или

Из этих решений необходимо выбрать общие, т.к именно при таких решениях система обращается в равенства. Нанесем на числовой оси решения и для нескольких значений n и k . Из рисунка видно, что общие решения совпадают с .

Итак : .

n = 0 n = 1 n = 2

k =-1 k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5

7.2.5.Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции

На экзаменах такие уранения встречаются значительно реже уравнений, рассмотренных выше. Их решение, как правило, основано на определении обратных тригонометрических функций и знании их свойств.

Пример 7.16.. Решить уравнение

Функция arcsinx определена при причем при значение arcsin . Следовательно, ОДЗ данного уравнения Введем новую неизвестную и получим рациональное уравнение: или

Корни уравнения и Оба корня входят в область значений функции

Вернемся к старой неизвестной x. Имеем уравнения.

а)

б)

Итак, уравнение имеет два корня

7.3. Тригонометрические неравенства.

Тригонометрические неравенства удобно решать, используя

т ригонометрический круг.

П

ример 7.17. Решить неравенство .

Н а тригонометрическом круге по оси ординат отложим значение

и построим соответствующие углы и .

Видно, что неравенству удоволетворяют значения

или где .

В случае сложного аргумента тригонометрической функции рекомендуется обозначить его новой переменной, решить для него неравенство, а затем вернуться к старой неизвестной.

П ример 60. Решить неравенство .

О

бозначим аргумент косинуса и получим неравенство

. Решим это неравенство. На тригонометрическом круге на

оси косинусов отложим значение и построим соответствующие

углы и . Тогда неравенству удовлетворяют

значения . Учтем периодичность функции и получим решения ,

где . Вернемся к старой неизвестной x и получим двойное линейное неравенство :

. Ко всем частям прибавим число . Все части неравенства разделим на положительное число 3. При этом знак неравенства сохраняется:

или

, где .

Если неравенство не является простейшим, то используя преобразования, аналогичные тем, которые применялись для уравнений, сводим неравенство к простейшему.

Пример 7.18. Решить неравенство .

В

1

ведем новую переменную и получим квадратное неравенство

. Это неравенство имеет решение

.

Вернемся к старой неизвестной x и получим .

На тригонометрическом круге по оси тангенсов отложим значения 1 и ,

Построим соответствующие углы и . Тригонометрическому

неравенству удовлетворяют значения Учтем периодичность

функции тангенс и получим или , где .