7.1.2. Связь между функциями одного угла

Эти тождества следуют из определения тригонометрических функций.

(1)

(2)

(3)

Формулы (1 – 3) позволяют по значению одной функции угла α найти все остальные.

Пример 7.2. Упростить выражение _..

В первой дроби заменим единицу по формуле (1), во второй дроби используем соотношение (2):

С использованием (1–3) по известным комбинациям тригонометрических функций с учётом формул сокращённого умножения могут быть найдены их неизвестные комбинации.

7.1.3. Функции суммы и разности углов

Заметим, что эти формулы основополагающие и с их помощью могут быть получены практически все соотношения, используемые в тригонометрии.

(4)

(5)

Пример 7.3. Найти .

_.

Таким образом, формулы (4 – 5) позволяют расширить значения тригонометрических функций, приведенных ранее в таблице.

7.1.4. Преобразования произведения функций в сумму

(6)

(7)

(8)

Пример 7.4. Вычислить .

Используя формулы (6−8), запишем

7.1.5. Преобразование суммы функций в произведение. Функции кратных углов

, (9)

, (10)

, (11)

. (12)

. (13)

. (14)

Пример 7.5. Упростить выражение .

Воспользуемся формулами (4) и (9):

.

Пример 7.5. Упростить выражение .

Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе:

.

7.2. Тригонометрические уравнения и неравенства

В начале этого раздела остановимся вкратце на обратных тригонометрических функций. Напомним решения простейших тригонометрических уравнений.

sin x= a x =(-1)^k arcsin a +πk (|a|≤1), k (17)

cos x = a x = ± arccos a + 2πk (|a|≤1), k (18)

tg x = a x = arctg a +πk, k (19)

ctg x = a x = arctg a + πk, k (20)

Пример 7.6. Решить уравнение .

Это частный случай:

, k .

Отсюда

, k .

И

, k .