5.1. Задачи на движение

Принятые обозначения: расстояние – S, L; скорости тел – u, w, … или , , …; время движения – t, T.

Обычно в качестве неизвестных выбирают расстояние и скорости движущихся тел. Время в качестве неизвестного выбирается достаточно редко, так как в этом случае запись условий задачи получается громоздкой.

5.1.1. Равномерное движение по прямой

Напомним следующие часто использующиеся при решении задач, допущения.

1. Движение на отдельных участках считается равномерным, и пройденный путь определяется соотношением – S=vt.

2. При движении тела по течению реки, его скорость относительно берега w слагается из скорости тела в стоячей воде (собственной скорости) u и скорость течения реки v: w=u+v; при движении против течения: w=u-v. Тела, не имеющие двигателей (плот, бревно и т. д.), обладают скоростью течения реки: w=v.

3. В задачах со встречами тел: при движении тел на встречу друг другу они встречаются через время

( где S – начальное расстояние между телами; и –скорости тел); при движении тел в одну сторону ( > ) они встречаются через время

(первое тело догоняет второе).

Пример 5.1. Из пункта А в 12 ч вышел поезд. В 14 ч в том же направлении вышел другой поезд. Он нагнал первый поезд в 20 ч. Найти скорости поездов, если при одновременном движении навстречу друг другу из городов, расстояние между которыми 420 км, эти поезда встречаются через 6 ч.

Пусть скорость первого поезда - , скорость второго - , > . До отправления второго поезда первый находился в пути 2 ч и прошел за это время , (км). К началу движения второго поезда, расстояние между поездами составляло . Так как второй поезд нагнал первый в 20 ч (т.е. через 6 ч после начала движения), то имеем уравнение

.

При движении навстречу друг другу при расстоянии 420 км поезда встречаются также через 6 ч. Поэтому получаем уравнение

.

Итак имеем систему уравнений

Или

.

Решив эту линейную систему уравнений, найдем: =30 км/ч, =40 км/ч.

Для наглядности рекомендуем сопровождать задачи рисунками, схемами, диаграммами и т. д. На рисунке изображены условия первой встречи поездов. Сначала из пункта А выезжает первый поезд со скоростью . Через два часа первый поезд находится в точке В (на расстоянии АВ=2 , от пункта А) и в этот момент из пункта А выезжает второй поезд со скоростью . В пункте С второй поезд догоняет первый и это происходит через 6 ч после выхода второго поезда.

А (12ч)

С

В (20ч)

(14ч)

На следующем рисунке изображены условия второй встречи поездов. Теперь поезда выходят одновременно из пунктов D и Е (с теми же скоростями что и раньше) навстречу друг другу. Расстояние DE=420 км и встреча происходит в пункте F через 6 часов после начала движения.

D Е

F

420 км

После этих рисунков составленные уравнения становятся более наглядными.

5.1.2. Движение по окружности с постоянной скоростью

Пример 5.2. Два тела движутся по окружности равномерно в одну сторону. Первое тело проходит окружность на 2 с быстрее второго и догоняет второе тело каждые 12 с. За какое время каждое тело проходит окружность?

Пусть длина окружности S и скорости тел и ( > ). Тогда время прохождения окружности первым телом , вторым – . Так как первое тело проходит окружность на 2 с быстрее второго, то имеем уравнение: . Кроме того, известно, что первое тело догоняет второе каждые 12 с. Поэтому запишем уравнение

.

По условию задачи надо найти времена и . Из второго уравнения имеем

.

Подставив в первое уравнение, получим

.

Сократив все члены уравнения на 2, и разделив дроби почленно, имеем:

.

Введя замену неизвестной , получим квадратное уравнение: , корни которого

и . Тогда . Отсюда первое тело проходит окружность за 4 с, второе – за 6 с.