4.2.6. Иррациональные неравенства
При решении
иррациональных неравенств необходимо
помнить, что корни нечетных степеней
рассматриваются при всех действительных
значениях подкоренных выражений, а
корни четной степени – только
арифметические, т.е. из
следует
х0, а0.
Операция возведения в четную степень
возможна лишь при условии, что обе части
неравенства нетрицательны.
Неравенство вида
равносильно
системе неравенств
Неравенство вида
равносильно
совокупности двух систем
Пример 4.19.
Решить неравенство
Данное неравенство равносильно системе неравенств
Так как 2х2-11х+16>0 при хR, то полученная система неравенств равносильна
с
истеме
0
3
+ +
Итак, х[0, 3]. 4
Ответ: х[0, 3].
Пример 4.20.
Решить неравенство
Данное неравенство равносильно совокупности двух систем
Второе неравенство второй системы можно опустить как следствие третьего неравенства той же системы.
Решение первой системы:
т.е. х<-3.
Вторая система имеет решение
Объединив
найденные множества решений систем,
получим
Ответ:
Пример 4.21.
Решить неравенство
Обозначим
Тогда получаем
Так как t>0,
то 4-t2-2t<0
или t2+2t-4>0,
т.е. неравенство относительно новой
переменной t можно
представить в виде следующей системы
неравенств
решение которой
+ +
-1-
- -1+
0
Перейдем к
первоначальной переменной:
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задания № 1-5. Решить системы уравнений.
Задания № 6-15. Решить неравенства.
ВАРИАНТ1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.(х-1)3(х-2)2(х-3)5(х-4)>0.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
ВАРИАНТ 2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
ВАРИАНТ 3
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
ВАРИАНТ 4
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
5. Текстовые задачи
Можно предложить следующую схему решения текстовых задач:
выбирают удобные для описания условия задачи неизвестные;
составляют необходимые уравнения или системы уравнений (реже неравенства);
решают полученные уравнения или системы уравнений;
отбирают подходящие по смыслу задачи решения.