Задачи для самостоятельного решения Решить уравнения: вариант 1

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

ВАРИАНТ 2

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

ВАРИАНТ 3

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

ВАРИАНТ 4

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

4. СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. НЕРАВЕНСТВА,

СОДЕРЖАЩИЕ НЕИЗВЕСТНОЕ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ.

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

4.1. Системы алгебраических уравнений

Системой уравнений называют совокупность нескольких уравнений с несколькими неизвестными. Решением такой системы уравнений называется совокупность значений этих неизвестных, обращающих каждое уравнение системы в тождество.

Основные методы решения систем уравнений

4.1.1. Способ подстановки: из какого-либо уравнения системы выражаем одно неизвестное через другие и подставляем в оставшееся уравнение системы.

Пример 4.1. Решить систему уравнений

Из второго уравнения системы найдем у=2х-3. Подставив это значение у в первое уравнение системы, получим или, после преобразования,

х²-5х+6=0, откуда найдем х₁=2, х₂=3; тогда у₁=2^.2-3=1, у₂=2^.3-3=3.

П роверкой убеждаемся, что найденные пары чисел – решения данной системы. Действительно, если х₁=2, у₁=1, имеем

4-6+1+4+3=6, 6=6,

4-1=3, или 3=3;

е сли х₂=3, у₂=3, то 9-27+9+6+9=6, 6=6

6-3=3, или 3=3

Ответ: (2,1); (3,3).

4.1.2. Способ алгебраического сложения: поясним на примере

Пример 4.2. Решить систему уравнений

Используем метод сложения. Если первое уравнение системы умножить на 2 и вычесть полученное уравнение из второго уравнения системы, то взаимно уничтожаются члены, содержащие переменные во второй степени:

В результате приходим к более простой системе

которую нетрудно решить методом подстановки:

или

Из второго уравнения последней системы находим у₁=2, у₂=117/146.

Так как х=(11у-17)/5, то при у=2 получаем х=1, при у=117/146 получаем

х= - 239/146.

Итак, заданная система имеет два решения (1;2) и

Ответ: (1;2) и

4.1.3. Способ введения новых переменных: суть метода поясним на примере

Пример 4.3. Решить систему уравнений

Используем метод введения новых переменных.

Положим х+у=и,

Тогда система примет вид

Применив метод подстановки, получим равносильную систему

т.е. откуда находим u₁=-15, v₁=-95/6; u₂=5, v₂=5/6. Таким образом, получаем совокупность систем

или и

р авносильную заданной системе уравнений. Каждую решим методом подстановки. В результате получим следующее множество решений системы:

(2;3);(3;2);

Ответ: (2;3);(3;2);

Пример 4.4. Решить систему уравнений

О.Д.З.: ху0.

Воспользуемся формулой «суммы квадратов», т.е. формулой а²+b²=

(a+b)²-2ab; перепишем данную систему

т.е.

Введем новые переменные u и v, обозначим х+у=u,

Система принимает вид

Применив метод подстановки, получим т.е. т.е. т.е. отсюда

v₁ = 1 и u₁=v₁+3=4,

v₂ = 2 и u₂=v₂+3=5.

Вернувшись к старым переменным, имеем

или

Решаем первую систему: у=4-х, тогда х²-4х+1=0, а

Решения второй системы: х₃=4; х₄=1, а у₃=1; у₄=4.

Ответ:

Пример 4.5. Решить систему уравнений

Это система уравнений, симметричных относительно неизвестных, т.е. таких, которые не изменяются при любых перестановках неизвестных. Такие системы решаются заменой

Воспользовавшись формулой получим и относительно u и v система примет вид

или

Из второго уравнения v=u²-7. Подстановкой в первое получаем

u²+u -2u²+14=8, или u²-u-6=0, откуда и₁=-2, и₂=3. Тогда v₁=-3, v₂=2. Данная система приводится к решению двух систем:

из которой находим

из которой находим

Ответ: (-3;1); (1;-3); (1;2); (2;1).

Пример 4.6. Решить систему уравнений

Системы уравнений, левые части которых однородны относительно х и у, а правые не содержат неизвестных, можно решать, пользуясь заменой х=ty. Введем замену х=ty; система примет вид

Разделив левые и правые части уравнений (у0), получим или, после преобразований, 10t²+3t-4=0, откуда t₁=-4/5, t₂=1/2. Если t₁=4/5, тогда из уравнения y²(t²+2t+3)=17 находим или откуда тогда

Если t=1/2, тогда или у² = 4, откуда у₃= -2; у₄= 2, а х₃=1/2(-2)= -1, х₄=1.

Ответ:

Пример 4.7. Решить систему уравнений

О.Д.З.:

Обозначим Относительно u и v система принимает вид

или

Подставив значение u+v=3 из первого уравнения системы во второе, получим (9-2uv)²-2u²v²=17 или u²v²-18uv+32=0. Решая последнее, найдем uv=2 и uv=16.

Т аким образом, получим совокупность двух систем уравнений:

u +v=3, u+v=3,

uv=2 и uv=16.

Р ешив уравнения, найдем u₁=1, u₂=2,

v₁=2; v₂=1 (вторая система не имеет решений).

Относительно х и у система принимает вид:

или откуда

Ответ: (1;16); (16;1).