ФГБОУ ВПО

«Воронежский государственный технический университет»

Кафедра физики

Механические колебания. Упругие волны методические указания

по физике

для студентов всех технических направлений

и специальностей очной формы обучения

Воронеж 2014

Составители: канд. физ.-мат. наук Н.В. Агапитова, канд. физ.-мат. наук В.А. Евсюков, д-р физ.-мат. наук А.В. Бугаков

УДК 537

Механические колебания. Упругие волны: методические указания по физике для студентов всех технических направлений и специальностей очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. В.А. Евсюков, Н.В. Агапитова, А.В. Бугаков. Воронеж, 2014. 44 с.

Методические указания содержат необходимый теоретический материал по одному из важных вопросов курса общей физики «Механические колебания и волны в упругой среде». Приведены примеры описания некоторых колебательных систем и расчета их основных характеристик. Предложен небольшой тематический сборник задач для самостоятельной работы. Предназначены для студентов первого и второго курсов.

Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS Word 2003 и содержатся в файле «Мех_колебания 2014.doc».

Ил. 22. Библиогр.: 6 назв.

Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. Е.В. Шведов

Ответственный за выпуск зав. кафедрой канд. физ.-мат. наук, проф. Т.Л. Тураева

Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

©ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный

технический университет, 2014

Предисловие

Как показывает опыт преподавания, студенты более охотно пользуются методическими разработками по различным темам курса, нежели «большой» учебной литературой. Более сжатое, лаконичное изложение отдельных вопросов предмета оказывается для студента предпочтительнее. Однако, компактное изложение материала не должно быть чрезмерно упрощённым и содержать пробросы важных элементов теории. Всё это налагает высокие требования к разработке методических указаний.

В предлагаемых методических указаниях вопросы механических колебаний и упругих волн изложены предельно кратко, но наряду с этим, сохраняют должный уровень содержания, отвечающий стандартной вузовской программе по общему курсу физики.

В методических указаниях представлены примеры решения ряда задач, иллюстрирующие кинематику и динамику колебательных движений. В конце каждой из глав приведены задачи для самостоятельной работы студентов по избранной теме курса.

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ. УПРУГИЕ ВОЛНЫ

1. Механические колебания

1.1. Гармонические колебания

Колебаниями называются движения или процессы, характеризующиеся той или иной степенью повторяемости во времени. В зависимости от физической природы повторяющегося процесса в физике выделяются колебания механические, электромагнитные, а в сложных колебательных системах могут быть те и другие.

Рассмотрим основные вопросы теории механических колебаний. Простейшими по характеру колебаний являются гармонические колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется по закону синуса или косинуса. Физическая система, совершающая периодические колебания называется осциллятором (от латинского «oscillo» - качаюсь).

Идеализированные системы, в которых колебания возникают за счет первоначально сообщенной энергии при отсутствии последующих внешних воздействий, называются гармоническими осцилляторами. Примерами гармонических осцилляторов являются пружинный, математический и физический маятники совершающие малые колебания. Колебания, возникающие в таких системах при отсутствии сил трения, называются собственными гармоническими колебаниями.

Рассмотрим кинематику гармонического колебания. Смещение системы от положения равновесия определяется формулой

x = A cos (₀ t + _о) . (1)

где x - смещение материальной точки в произвольный момент времени от своего положения равновесия, A - амплитуда колебаний, т.е. максимальное отклонение от положения равновесия;  = ₀ t +_о - фаза колебаний; _о - начальная фаза.

Периодом колебаний называется промежуток времени Т, за который фаза колебаний получает приращение, равное 2. Определим его из следующего условия: ₀t + T +  =

= ₀t +  + 2, откуда T = 2 / .

Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний и обозначается буквой . Частота и период колебаний – взаимно обратные величины, т.е.  = 1/T . За единицу частоты принимается частота такого колебания, период которого равен 1 сек. Эту единицу называют герцем (Гц). Таким образом, эти величины связаны соотношениями

 = 2 /T = 2  . (2)

Величину  называют круговой или циклической, т.е.  дает число колебаний за 2 секунд.

Зная смещение (1), определяем скорость

v = = - A ₀ sin(₀ t + ) , (3)

и ускорение

a = = = - A cos (₀ t + ) = - ₀²x. (4)

Из (3) получаем

+ ₀²x = 0 или + ₀²x = 0 (5)

Уравнение (5) называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Общее решение этого уравнения имеет вид (1).

На рис.1 представлены зависимости смещения, скорости и ускорения для гармонических колебаний.

Рассмотрим гармонические колебания на примере пружинного маятника. Выведем маятник из положения равновесия и предоставим систему самой себе. По II закону Ньютона имеем:

(6)

где m-масса материальной точки, k- коэффициент жесткости пружины. Обозначив ₀²= k/m, получаем дифференциальное уравнение гармонических колебаний (5), общее решение которого определяется формулой (1), а ₀ определяет циклическую частоту собственных колебаний пружинного маятника.

Рис.1