2.7. Колебания струны

В закрепленной с обоих концов натянутой струне при возбуждении поперечных колебаний устанавливаются стоячие волны, причем в местах закрепления струны должны располагаться узлы. Поэтому в струне возбуждаются с заметной интенсивностью только такие колебания, половина длины волны которых укладывается на длине струны целое число раз (рис.18). Отсюда вытекает условие

l = , или _n = 2 (n = 1,2,3…), (88)

l – длина струны.

Длинам волн (88) соответствуют частоты

_n = (n = 1,2,3…), (89)

– фазовая скорость волны, определяемая силой натяжения струны и массой единицы её длины, т.е. линейной плотностью струны.

Частоты _n называются собственными частотами струны. Собственные частоты являются кратными частоте

₁ = , (90)

называемой основной частотой, т.е. .

Гармонические колебания с частотами (89) еще называют нормальными колебаниями. Их называют также гармониками. В общем случае колебания струны представляют собой наложение различных гармоник.

Колебания струны примечательны в том отношении, что для них по классическим представлениям получаются дискретные значения одной из характеризующих колебания величин (частоты). Для классической физики такая дискретность является исключением. Для квантовых процессов дискретность является скорее правилом, чем исключением.

2.8. Акустический эффект Доплера

Эффектом Доплера называется зависимость частоты волн, воспринимаемой приёмником, от скоростей движения источника волн и приёмника по отношению к среде, в которой распространяется волна.

П

202

усть источник волн, колеблющийся с частотой , движется относительно среды со скоростью , а наблюдатель – со скоростью . Задача будет состоять в том, чтобы установить зависимость частоты , воспринимаемой наблюдателем, от , и . Для этого сначала рассмотрим простой случай, когда источник и приёмник движутся навстречу друг к другу вдоль неизменной прямой со скоростями и .

Предположим, что источник волн в начальный момент времени t = 0 начал совершать колебания, а через промежуток времени  – прекратил свою работу.

При этом он совершил колебаний, и в направлении к приёмнику был направлен звуковой импульс. Очевидно, что моменты времени t₁ и t₂ регистрации приёмником переднего и заднего фронтов звукового импульса будут следующими:

и

(см. рис 20).

Промежуток времени регистраций приёмником N колебаний равен

Следовательно, частота, воспринимаемых приёмником колебаний, будет равна

(91)

Теперь полученную формулу (91) обобщим на случай произвольных направлений движения источника и приёмника волн (рис. 21). В формуле (91) (-u₁) и u₂ представляют собой проекции скоростей и на прямую, а разность скоростей - имела смысл относительной скорости их сближения.

В случае произвольных направлений движения источника и приёмника волн проекции их скоростей и на направление вектора , соединяющего приёмник с источником волн, соответственно равны ( ) и ( ) (рис.21). С учетом этого, формула (91) примет вид:

или (92)

Из формулы (92) следует, что в случае относительного сближения источника и приёмника, частота воспринимаемых приёмником колебаний , и наоборот, при относительном их удалении .