2.9. Цепь с последовательным соединением элементов r, l, c

С хема цепи изображена на рис. 2.15. Мгновенное напряжение цепи u равно сумме мгновенных напряжений u_R, u_L, u_C на соответствующих элементах цепи

.

При синусоидальном напряжении u ток i также синусоидален и, в общем случае, сдвинут на угол φ относительно напряжения. При заданном напряжении задачей расчета цепи является определение величины тока и угла φ.

Для комплексов действующих напряжений и токов (см. рис. 2.15) запишем:

(2.49)

где – комплексное сопротивление.

В соответствии с (2.49).

(2.50)

где – реактивное сопротивление;

z и  – модуль и аргумент комплексного сопротивления.

В свою очередь

, (2.51)

. (2.52)

Исходя из (2.50), можно построить треугольник сопротивлений (рис. 2.16). Выражения (2.51), (2.52) можно легко получить с помощью рис. 2.16.

В соответствии с (2.49) комплексный ток вычисляется по закону Ома в комплексной форме:

. (2.53)

Если мгновенное напряжение

,

то комплекс действующего напряжения

.

Исходя из (2.50)  (2.53)

, (2.54)

где – действующее значение тока в цепи.

Величина φ определяет сдвиг фаз между напряжением и током. Исходя из (2.54), для мгновенного тока запишем:

. (2.55)

Если x_L > x_C, цепь для определения тока можно заменить последовательным соединением сопротивления R и индуктивного сопротивления = x_L – x_C (рис. 2.17, а). При этом угол φ в (2.50) положителен и ток отстает от напряжения на угол φ.

Если x_L < x_C, цепь можно заменить эквивалентным сопротивлением, состоящим из активного сопротивления R и емкостного сопротивления рис. 2.17, б. При этом величина φ в (2.50) отрицательна, и ток опережает напряжение на угол φ.

Если x_L = x_C, цепь для расчета тока замещается сопротивлением R (рис. 2.17, в).

Если принять начальную фазу тока за ноль, то для трех случаев эквивалентных сопротивлений можно построить соответствующие векторные диаграммы (рис. 2.17). Разность между векторами и обозначена как напряжение на эквивалентном сопротивлении.

Треугольник, образованный векторами и называют треугольником напряжений. Он сходен с треугольником сопротивлений. В рассмотренной цепи напряжения и на реактивных элементах могут превышать входное напряжение U.

П олная S, активная Р и реактивная мощности определяются из выражений

, , , .

Треугольник мощностей (рис. 2.18), сходен с треугольниками сопротивлений и напряжений. Величину cos φ = P / S называют коэффициентом мощности.

2.10. Резонанс напряжений

Если электрическая цепь имеет одну или несколько индуктивностей и одну или несколько емкостей, то возможен резонансный режим – когда эквивалентное сопротивление цепи (входное сопротивление) является чисто активным, и входные напряжение и ток совпадают по фазе. Различают две разновидности резонанса – резонанс напряжений и резонанс токов.

Резонанс напряжений имеет место при последовательном соединении индуктивности и емкости (рис. 2.15). В соответствии с (2.50) эквивалентное сопротивление цепи является чисто активным, когда x_L = x_C. Таким образом, условие резонанса

, (2.56)

где ₀ – резонансная частота.

Исходя из (2.56)

. (2.57)

При частоте ₀ напряжения на индуктивности и емкости равны, поэтому используют термин “резонанс напряжений”.

Векторная диаграмма, соответствующая резонансу напряжений, приведена на рис. 2.17, в.

Добротность резонансного контура

. (2.58)

Величина Q показывает, во сколько раз напряжение на реактивном элементе превышает входное напряжение в резонансном режиме. В радиотехнических устройствах Q может достигать 300 и более.

И сходя из (2.58), резонанс можно получить путем изменения одной из трех величин: частоты, индуктивности или емкости. Зависимость напряжений и токов цепи от изменяемого параметра называют резонансными характеристиками. Данные характеристики при изменении частоты приведены на рис. 2.19.

Зависимость тока от частоты определяется формулой

. (2.59)

В режиме резонанса ток максимален. Максимальные значения напряжений и имеют место при .