ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный

технический университет»

Кафедра электропривода, автоматики и управления

в технических системах

МОДЕЛИ МНОГОМЕРНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к выполнению лабораторных работ

по дисциплине “Математические основы теории систем”

для студентов направления подготовки бакалавров

220400 “Управление в технических системах”

очной формы обучения

Воронеж 2012

Составитель канд. техн. наук Е.М. Васильев

УДК 62-50

Модели многомерных и нелинейных систем управления: методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине ”Математические основы теории систем” для студентов направления подготовки бакалавров 220400 “Управление в технических системах” очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. Е.М. Васильев. Воронеж, 2012. 37 с.

В методических указаниях на конкретных примерах показаны методы составления различных математических моделей многомерных и нелинейных систем регулирования. Раскрываются практические приемы численного исследования полученных моделей, раскрывающие принципиальные качественные особенности рассматриваемых систем.

Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS Word 2003 и содержатся в файле МУ 3,4 МОТС-2012.doc.

Ил. 12 . Библиогр.: 6 назв.

Рецензент канд. техн. наук, доц. Ю.С. Слепокуров

Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. В.Л. Бурковский

Издаётся по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

© ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2012

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ МНОГОМЕРНЫХ

СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

1. Цель работы

Ц елью работы является первоначальное знакомство с методами и практическими приемами составления различных математических моделей многомерных систем, объекты регулирования в которых заданы дифференциальными уравнениями, передаточными матрицами, структурной схемой или описанием в пространстве состояний. В ходе выполнения работы акцентируется внимание на эквивалентности получаемых форм моделей, проявляющейся, в частности, в неизменности характеристического полинома  его независимости от способа описания системы.

В результате исследований на полученной модели реакций системы на внешние воздействия наглядно раскрывается качественное отличие многомерных систем от одномерных, проявляющееся как в изначальном существовании внутренних перекрестных связей между каждым входом и несколькими выходами внутри объекта, так и в появлении таких связей в результате замыкания системы внешними обратными связями.

2. Краткие теоретические сведения

На практике исходное математическое описание многомерного объекта (рис.1) получается в результате теоретического и экспериментального анализа физических, химических или иных происходящих в нем процессов и имеет вид системы нескольких дифференциальных уравнений. Например, паровой котел [1] с некоторыми упрощениями описывается уравнениями

(1)

где

y₁, y₂ – относительные приращения давления пара в котле и уровня воды в нем – регулируемые величины;

u₁, u₂  относительные приращения расхода топлива в топке и поступления воды в котел  регулирующие воздействия;

f  относительное приращение расхода (потребления) пара из котла  возмущающее воздействие.

Следует обратить внимание, что в корректно составленной модели число дифференциальных уравнений вида (1), описывающих объект, равно количеству  регулируемых величин.

Переписав уравнения (1) в изображениях по Лапласу

k

(2)

₁py₁(p) = k₂u₁(p) – f(p);

k₃py₂(p) = (k₄p – k₅)u₁(p) + k₆u₂(p),

можно получить описание объекта в явном виде относительно регулируемых величин (символ p при y₁, y₂, u₁, u₂, f далее опущен):

(3)

с помощь которого легко составить структурную схему объекта (рис.2).

2

Я вная форма записи (3) дает возможность перейти к представлению модели на основе передаточных матриц объекта по управлению W_ou(p) и по возмущению W_of(p):

где

Построение простейшей многомерной системы автоматического регулирования (САР) рассматриваемого объекта заключается в замыкании каналов его управления по u₁ и u₂ единичными отрицательными обратными связями (передаточные функции датчиков регулируемых величин и регуляторов принимаются равными единице) и представлено на рис.3, на котором

g₁ и g₂  задающие воздействия;

₁ и ₂  ошибки регулирования, совпадающие в данной структуре с управляющими сигналами u₁ и u₂, поступающими на объект.

3

Для рассматриваемого объекта  парового котла  исходное описание которого получено для относительных приращений, величины g₁ и g₂ в номинальном режиме равны нулю, и значение, например, g₁ = 0,1 означает, что давление пара y₁ в котле требуется увеличить на 10% относительно номинального значения.

Для вывода дифференциальных уравнений замкнутой САР, изображенной на рис.3, необходимо к описанию объекта добавить уравнения замыкания

u₁ = g₁ – y₁;

u

(5)

₂ = g₂ – y₂,

и подставить (5) в (1):

(6)

4

Для получения модели замкнутой САР на основе передаточных матриц системы W_g(p) по заданию и W_f(p) по возмущению следует перейти к изображению по Лапласу и явной форме записи относительно y₁ и y₂ аналогично тому, как это было сделано при описании объекта:

(

(7)

k₁p + k₂)y₁(p) = k₂g1(p)-f(p);

(k₄p  k₅)y₁(p) + (k₃p + k₆)y₂(p) = (k₄p – k₅)g₁(p) +k₆g₂(p).

Разрешив систему алгебраических уравнений (7) относительно неизвестных y₁ и y₂ получим:

или, в компактной форме записи,

y(p) = W_g(p)g(p) + W_f(p)f(p), (8)

где

в которых

Характеристический полином системы является общим знаменателем всех передаточных функций W_ij и F_k:

5

k₁k₃p² + (k₂k₃ + k₁k₆)p + k₂k₆ =0. (9)

Уравнения (8) и(9) могли быть получены решением системы алгебраических уравнений (7) не в скалярном виде, а в матричном:

A(p)y(p) = B(p)g(p) + C(p)f(p), (10)

откуда

y(p) = A^-1Bg(p) + A^-1Cf(p),

где

и искомые передаточные матрицы замкнутой системы W_g(p) = =A^-1B; W_f(p) = A^-1C, а также характеристическое уравнение

|A| = k₁k₃p² + (k₂k₃ + k₁k₆)p + k₂k₆ =0, (11)

будут совпадать с соответствующими выражениями, полученными скалярными вычислениями.

Описание замкнутой системы регулирования в пространстве состояний

(12)

удобно получать из уравнения (10) в матричной форме, разложив матрицы А, В и С из (10) на слагаемые по степеням оператора p:

A = A₁p + A₀; B = B₁p + B₀; C = C₁p + C₀,

где

Тогда искомые матрицы K, N, F, L, H и S пространства состояний будут получены из типовых выражений, справедливых для систем с единичными обратными связями:

6

(13)

где

n  порядок старшей производной в уравнении (6) замкнутой системы;

Е  единичная матрица размером [].

Для рассматриваемого примера САР парового котла n=1, =2, r=1 и

7

Характеристический полином

с точностью до постоянного множителя совпадает с полученными ранее (9) и (11).

Найденные выражения для K, N, F, L, H и S позволяют представить (12) в скалярной форме

(14)

из которой следует, что координата х₁ пропорциональна давлению y₁ в котле, а координата х₂ физического смысла не имеет.