1. Цель работы

Целью лабораторной работы является приобретение практических навыков моделирования нелинейных систем автоматического регулирования в виде дифференциального уравнения общего вида, в изображениях по Лапласу и в пространстве состояний, а также использования последнего для численного исследования переходных процессов в системе и построения её фазового портрета при различных внешних воздействиях.

В ходе выполнения работы на данном этапе обучения студенту следует обратить внимание, что наличие нелинейного звена в системе формально не препятствует описанию других частей САР в изображениях по Лапласу, однако использование этого описания для получения каких либо передаточных функций системы в целом невозможно, так как последние имеют смысл только для линейных звеньев и систем.

Кроме того, предусмотренное содержанием работы исследование реакции системы на внешние воздействия различной амплитуды раскрывает другую характерную особенность нелинейных систем: существенную качественную зависимость поведения САР от амплитуды этих воздействий, причем наиболее полное и наглядное представление об этой зависимости можно получить с помощью фазового портрета системы, иллюстрирующего её движение в малом, в большом и в целом. В ряде вариантов работы проявляется также такое специфическое свойство нелинейных систем, как способность выполнять свои функции в режиме автоколебаний.

2. Содержание работы

Содержание этапов работы раскрывается на примере релейной системы позиционирования углового положения 

20

вала некоторого исполнительного механизма (рис.1), где U_зад, U_oc  напряжения задания и датчика углового положения  выходного вала редуктора (исполнительного механизма); U,   напряжение питания электродвигателя и его частота вращения.

Назначение системы заключается в переводе выходного вала в угловое положение , соответствующее тому или иному ступенчато изменяющемуся сигналу задания U_зад.

Структурная схема рассматриваемой САР представлена на рис.2.

Из рис.2 следует, что характеристика F() поляризованного реле обладает некоторой зоной нечувствительности а, определяющей собою установившуюся ошибку САР; двигатель

21

представлен инерционным звеном W₁(p) с параметрами k₁ и Т; коэффициент передачи редуктора и момент инерции его вращающихся частей сведены в коэффициент k₂ в передаточной функции W₂(p); k₃  коэффициент передачи датчика.

С ледует обратить внимание, что процедура составления структурной схемы САР отличается от аналогичного этапа моделирования линейных систем (см. лаб. работу №2) только тем, что нелинейное устройство, входящее в состав САР, выделяется в обособленное статическое звено с соответствующей нелинейной характеристикой.

2.1. В изображениях по Лапласу записывается уравнение движения системы относительно величины на входе нелинейного звена:

(p) = g(p) – u(p)W₁(p)W₂(p)k₃;

или, после подстановки W₁(p) и W₂(p)

и избавления от знаменателя:

T (p)p² + (p)p + k₁k₂k₃u(p) = Tg(p)p² + g(p)p. (1)

Строго говоря, уравнение (1) не описывает движение системы в замкнутом виде, так как оно не содержит характеристику нелинейности (нелинейное звено не может быть представлено передаточной функцией). Однако, используемая в (1) операторная форма записи удобна для непосредственного перехода к дифференциальному уравнению замкнутой САР уже с учетом нелинейности (п.2.2).

2.2. Составленное в п.2.1 уравнение движения (1) переписывается в оригиналах, в результате чего получается дифференциальное уравнение движения системы

или, учитывая, что u(t) = F[(t)],

(2)

22

Уравнение (2) представляет собою нелинейное дифференциальное уравнение общего вида, описывающее замкнутую САР в целом.

Порядок дифференциального уравнения, а значит, и порядок всей системы  второй.

2.3. Понижением порядка дифференциального уравнения движения САР вводятся искусственные координаты х₁ и х₂ состояния системы:

формируются производные этих координат

и составляется описание системы в этом пространстве:

(3)

Координаты х₁ и х₂ в общем случае ясного физического смысла не имеют.

Функция F() задается обычно путем разбиения области её определения на интервалы, в которых она описывается аналитически. В рассматриваемом примере

2.4. На основании полученной в п.2.3 модели нелинейной САР в пространстве состояний (3), составляется программа

23

численного исследования системы на этой модели (см. лаб. работу №2).

В качестве контролируемой величины, характеризующей реакцию системы на задающее воздействие g(t), в общем случае может быть использована величина, относительно которой составлены модели (2) и (3), в рассматриваемом случае  (t). Однако, если для умозрительного анализа качества САР удобнее контролировать регулируемую величину ( в примере  (t)), то в программе исследования следует предусмотреть соответствующий переход (см.рис.2):

Так как величины g(t) и (t) по своим значениям и физической природе обычно не совпадают, то на практике вместо истинной регулируемой величины (t) используют величину (t) на выходе датчика ( = g - ), значение которой удобно сопоставлять с заданным значением g(t).

2.5. С помощью программы, составленной в п.2.4, исследуется реакция САР на ступенчатое воздействие g(t) различной амплитуды.

Предварительный диапазон подлежащих исследованию амплитуд g(t) рекомендуется определить в результате анализа нелинейной характеристики F().

В рассматриваемой для примера системе (рис.2) значение g(t)<a не вызывает появление переходных процессов (начальные условия принимаются нулевыми).

Подача на вход системы сигнала g(t), по модулю равного или незначительно превышающего ширину a зоны нечувствительности, приводит к включению реле и появлению на входе двигателя напряжения питания U = u_м(при g>0); двигатель начинает вращаться, изменяется угловое положение  вала и соответствующий сигнал  датчика. В результате ошибка g- уменьшается. При достижении ||<a реле отключается, напряжение U принимает значение U=0, двигатель после некоторого

24

выбега останавливается и угловое положение  вала принимает новое значение, соответствующее заданному g(t) с некоторой ошибкой ; при этом сохраняется неравенство ||<a и система будет находиться в установившемся режиме в новом положении равновесия. Если теперь представить, что значение g(t)>>a и при отработке этого воздействия двигатель успел разогнаться до частоты вращения, близкой максимальной _м = k₁u_м, то может оказаться, что выбег двигателя после его отключения приведет к такому избыточному повороту вала, что выполнится неравенство   g -  < -a, и реле снова включиться, но подаст на двигатель напряжение питания обратного знака U = -u_м; двигатель сменит направление своего вращения и устранит избыточный поворот, т.е. переходный процесс в системе примет колебательный характер.

Таким образом, предварительный анализ системы позволяет предположить наличие трех диапазонов амплитуд g(t) с различной реакцией системы:

g(t) < a  переходный процесс не возникает;

a  g(t)  b  система отрабатывает сигнал задания g(t) с некоторой ошибкой || < a без колебаний;

g(t) > b  система отрабатывает сигнал задания g(t) с ошибкой || < a с колебательным переходным процессом.

Графики указанных переходных процессов для системы с параметрами a = 1 B; u_м = 10 B; k₁ = 0,07 рад/c/B; T = 1 c; k₂ = 10 ; k₃ = 5 B/рад представлены на рис.3.

З начение b=2 для данной системы определено подбором соответствующей амплитуды g.

25

2.6. Проведенные в п.2.5 исследования системы опирались на умозрительный анализ её характеристик. В полном объеме такой анализ возможен только для простейших систем, в САР со сложным нелинейностями количество диапазонов с различной реакцией системы на g(t) может быть значительным, качественные различия в этих диапазонах теряют свою наглядность, определение границ становится трудоемким.

Перечисленные трудности не возникают при проведении анализа системы по её фазовому портрету.

За фазовые координаты формально можно принять координаты х₁ и х₂ пространства состояний. Если эти координаты лишены физического смысла, то в качестве последних рекомендуется использовать величину на входе нелинейности и её производную, т.е., в рассматриваемом примере, .

Поскольку

Пример фазового портрета представлен на рис.4.

26

Анализ фазового портрета наглядно подтверждает указанные выше (см.п.2.5) качественные отличия в поведении САР в трех разных диапазонах I, II, III амплитуд задающего воздействия (рис.5).

У словно можно принять, что эти диапазоны соответствуют поведению системы в малом (I), в большом (II) и в целом (III). Если диапазонов больше трех, то вводятся произвольные дополнительны названия диапазонов или их номера.

Расширяя информационное значение фазового портрета до задач анализа САР с любыми начальными условиями, следует отметить, что на фазовой плоскости (рис.6) область I

27

малых отклонений САР от положения равновесия можно представить интервалом (-a, a); область II больших отклонений штриховкой. Область III, дополняющая I и II до всей плоскости (до целого), на рис.6 не заштрихована.

В вариантах систем, в которых возникает режим автоколебаний, в общем случае также можно выделить диапазоны отклонений, отрабатываемых (или не отрабатываемых) САР в этом режиме.

В том случае, если результаты анализа поведения САР на фазовой плоскости не совпадают с результатами умозрительно анализа в п.2.5, то следует вернуться к п.2.5 выяснить причины этого несоответствия и устранить их.