Принятие решений в условиях полной неопределенности и риска

Цель: изучение методов принятия решений в условиях неопределенности и риска и применения их для решения практических задач.

Теоретический минимум

Задачи в условиях риска.

Задачи данного типа возникают в случае, когда каждому решению может соответствовать не один, а несколько результатов в зависимости от так называемых состояний внешней среды (обстановок). Эти состояния среды не зависят от лица, принимающего решения. Реализуется лишь одно из данных состояний, однако предсказать, какое именно можно лишь в статистическом смысле. Каждой обстановке соответствует определенное значение функции прибыли (затрат) при том или ином выборе той или иной альтернативы. Необходимо выбрать такую альтернативу x_i, которая была бы наиболее оптимальна с точки зрения целевой функции в наступивших условиях. Данные задачи делятся на 2 категории. Для задач в условиях риска имеются априорные значения вероятностей наступления каждой из обстановок. В случае полной неопределенности известны лишь сами обстановки.

В общем случае задача в условиях риска может быть сформулирована следующим образом. Пусть существует m альтернатив x₁,…,x_m, и n обстановок y₁,…,y_n, причём известны вероятности p_j наступления обстановки j (j=1,…,n). Пусть также известна матрица a_ij прибыли (затрат) от принятия решения i (i=1,…,m) в случае наступления обстановки j (j=1,…,n).

1. Метод ожидаемого значения.

Критерий ожидаемого значения сводится к максимиза­ции ожидаемой прибыли или минимизации ожидаемых затрат.

Ожидаемое значение прибыли (затрат) для альтерна­тивы x_i будет определяться следующим образом:

.

Найдя ожидаемые прибыли для каждой альтернативы, необходимо выбрать такое решение k (k=1,…,m), для которого соответствующая прибыль будет максимальна (задача на мак­симум) или издержки минимальны (задача на минимум).

2. Метод Ходжа-Лемана.

Использование данного критерия является эффективным в случае, если вероятности наступления каждой из обстановок известны неточно или имеются лишь некоторые предположения о распределении вероятностей. Данный критерий фактически обобщает метод ожидаемого значения и метод гарантированного результата в зависимости от степени доверия к распределению вероятностей. Если доверие к используемому распределению велико, то акцентируется метод ожидаемого значения, иначе — метод гарантированного результата (или метод азартного игрока). Пусть степень доверия к распределению вероятностей описывается некоторым параметром α. Чем ближе α к 1, тем больше доверия к распределению вероятностей, чем ближе к 0, тем меньше.

2.1 «Осторожный» вариант метода.

В общем случае для задачи на максимум необходимо для каждой альтернативы рассчитать следующие частичные суммы:

В этом случае из всех альтернатив выбирается решение с наибольшей частичной суммой.

Для задачи на минимум частичные суммы будут иметь вид:

В качестве решения выбираем альтернативу с наименьшей частичной суммой.

2.2 «Рискованный» вариант метода.

В этом случае для задачи на максимум необходимо для каждой альтернативы рассчитать следующие частичные суммы:

Из всех альтернатив выбирается решение с наибольшей частичной суммой.

Для задачи на минимум частичные суммы будут иметь вид:

В качестве решения выбираем альтернативу с наименьшей частичной суммой.

Задачи в условиях полной неопределенности

Отличие данной задачи от предыдущей заключается в отсутствии предварительной информации о наступлении той или иной обстановки. В качестве целевой функции рассматривается максимизация прибыли или минимизация затрат. Пусть возможные значения прибыли (затрат) для каждой альтернативы в условиях каждой из обстановок описываются матрицей а. Существует ряд методов решения данной задачи.

1. Метод Лапласа (метод недостаточного основания). Основывается на положении, что если распределение вероятностей неизвестно, то нет основания считать их различными. Следовательно, используется предположение, что вероятности наступления всех состояний равны между собой, т.е. p₁=…=p_n. Тогда ожидаемое значение от принятия решения j (j=1,…,m) определяется формулой:

,i=1,…,m.

Требуется найти такую альтернативу k (такую строку в матрице а), которой соответствует наибольшее (наименьшее) значение b:

или .

2. Метод гарантированного результата

В основе метода лежит идея о том, что из всех альтернатив необходимо выбрать такую, которая даст наибольший гарантированный результат. В случае, если решается задача на максимум, гарантированный результат от принятия некоторого решения xj следует искать как наименьший элемент в данной строке:

В качестве ответа выбираем решение, которому соответствует наибольший гарантированный результат:

В случае, если решается задача на минимум, гарантированный результат есть наибольшее значение в каждой строке:

В качестве ответа выбираем решение, которому соответствует наименьший гарантированный результат:

В отличие от остальных методов, в данном методе при выборе определенной альтернативы можно однозначно определить наихудший из результатов (т.е. гарантированный результат, хуже которого при данном решении точно не получим). Однако, в ряде случаев этот метод дает результаты весьма далекие от оптимальных.

3. Метод азартного игрока

Это наиболее рискованный из всех методов решения задач в условиях полной неопределенности. Согласно данному методу из всех альтернатив необходимо принимать такое решение, которое может принести максимальную прибыль (минимальные потери) вне зависимости от того, насколько рискованным может быть данное решение. Для задачи на максимум для каждой альтернативы определяем наибольшее значение:

Далее из всех альтернатив выбираем такое решение xk, максимальный результат от принятия которого был бы наибольшим:

Для задачи на минимум для каждой альтернативы находим наименьшее значение:

После этого выбираем альтернативу с наименьшим Mi:

4. Метод Сэвиджа (метод минимальных сожалений).

Критерий Сэвиджа стремится смягчить консерватизм критерия Вальда путём замены матрицы доходов a_ij матрицей сожалений. Каждое значение данной матрицы выражает сожаление по поводу принятия решения i (i=1,…,m) в случае, если наступила обстановка j (j=1,…,n).

В задаче на максимум она определяется следующим образом:

.

Если решается задача на минимум, то матрица потерь строится с помощью формул:

.

Следующие этапы метода Сэвиджа для задач на максимум и минимум совпадают. Определяем максимальное сожаление от принятия каждого решения x_i, i=1,2,…,m по формуле:

Поскольку необходимо выбрать решение, сожаления от принятия которого были бы минимальны, выбираем такую альтернативу x_k, которой соответствует минимальное значение R_k:

.

Иными словами, для каждой обстановки (каждой строки) ищем максимальное сожаление (максимальный элемент в строке матрицы сожалений), а затем из полученных значений выбираем минимальное.

5. Метод Гурвица (метод пессимизма-оптимизма)

Критерий Гурвица сводится к взвешенной комбинации способов, устанавливающих баланс между случаями предельного оптимизма и крайнего пессимизма. Этот критерий для заданного значения  находит оценочные функции доходов по формуле:

Если матрица а представляет «затраты», то оценочные функции имеют вид:

Здесь  - коэффициент, вводимый ЛПР, и показывающий его склонность к риску; 01. При =1 имеем случай предельного оптимизма, при =0- крайнего пессимизма.

Из значений y_j необходимо выбрать максимальное:

или минимальное:

.

Задание к лабораторной работе

Решить задачу выбора наиболее оптимальной альтернативы в условиях полной неопределенности и риска.

Исходными дан­ными являются:

• количество альтернатив m и обстановок n;

• матрица доходов (затрат) a_ij при принятии альтернативы i в условиях обстановки j;

• вероятности наступления обстановок p_j (для задачи в условиях риска);

• коэффициент  для метода Гурвица или метода Ходжа-Лемана.

В качестве результатов получить:

• решение, полученное каждым из методов;

• промежуточные результаты.

Промежуточные результаты, которые необходимо отображать, представлены в следующей таблице.

Промежуточные результаты

Задача в ус­ло­виях риска		Задачи в условиях полной неопределенности
		Метод Лап­ласа	Метод гарантированного результата	Метод азартного игрока	Метод Сэ­виджа	Метод Гур­вица
Метод ожидаемого результата	Метод Ходжа-Лемана
Мxi, i=1,..m	Si, i=1,..m	Мxi, i=1,..m	Mi, i=1,..m	Mi, i=1,..m	Матриц. сожален. rij	yi, i=1,..m
					Ri

Сделать вывод о выборе той или иной альтернативы.

Предусмотреть возможность как ввода значений в исходную матрицу доходов (затрат), так и автоматическое заполнение этой матрицы случайными значениями из заданного диапазона.

Номера методов:

1 — Метод Лапласа

2 — метод гарантированного результата

3 — метод азартного игрока

4 — метод Сэвиджа

5 — метод Гурвица

Задачи в условиях риска:

6 — метод ожидаемого значения

7 — метод Ходжа-Лемана (азартный игрок)

8 – метод Ходжа-Лемана (метод гарантированного результата)

Варианты заданий

№ п/п	Метод1		Метод 2		Риск
1	1	max	2	max	7	min
2	1	max	3	max	6	max
3	2	max	4	max	8	min
4	1	max	5	max	6	max
5	4	min	5	min	7	max
6	1	min	3	min	8	min
7	2	min	4	min	6	max
8	4	min	3	min	7	min
9	5	max	3	max	8	max

Отчет должен содержать:

- вариант задания;

- листинги процедур, описывающих каждый метод.