- •Квантовая оптика
- •Предисловие
- •1. Основные формулы и пояснения к ним
- •Тепловое излучение
- •Фотоэлектрический эффект
- •Давление света
- •Эффект Комптона
- •2. Примеры решения задач
- •2.1. Тепловые излучения.
- •2.2. Фотоэффект
- •2.3. Давление света
- •2.4. Эффект комптона
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тепловое излучение
- •Фотоэффект
- •Давление света
- •Эффект Комптона
- •Справочный материал
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Примеры решения задач………………………….7
- •Задачи для самостоятельного решения..33
- •Квантовая оптика
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Фотоэлектрический эффект
Фотоэлектрическим эффектом называется испускание электронов веществом под действием света.
Энергия фотона
,
где - частота света; h – постоянная Планка (6,63 ∙ 10-34 Дж/с); λ – длина волны; с – скорость света.
Масса фотона
.
Импульс фотона
,
где - волновое число; ; – волновой вектор, направленный в сторону распространения волны.
Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта (формула Эйнштейна):
а) в общем случае
,
где - энергия фотона, падающего на поверхность металла; А – работа выхода электрона из металла;
Тmax – максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона;
б) в случае, если энергия фотона намного больше работы выхода ( >>A):
.
Кинетическая энергия фотоэлектрона в зависимости от того, какая скорость ему сообщается, может быть выражена по классической формуле:
(1)
или по релятивистской:
, или (2)
где - ; m – масса релятивистского электрона.
Скорость фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызывающего фотоэффект: если энергия фотона намного меньше энергии покоя электрона Е0 = m0c2, то может быть применена формула (1), если же сравнима с Е0, то вычисления по формуле (1) приводят к грубой ошибке. В этом случае кинетическую энергию фотоэлектрона необходимо выражать по формуле (2).
Красная граница фотоэффекта:
(при Тmax = 0);
,
где - максимальная длина волны излучения;
- минимальная частота.
Коротковолновая граница тормозного рентгеновского излучения
,
где U – ускоряющая разность потенциалов.
Давление света
Давление, производимое светом при нормальном падении,
, или
где Ее – облучённость поверхности – энергия, падающая на единицу поверхности за единицу времени.
- энергия всех фотонов, падающих на единицу поверхности за единицу времени.
Эффект Комптона
Формула Комптона.
Изменение длины волны рентгеновских лучей при рассеянии на свободных электронах определяется формулой:
,
где λ – длина волны падающего рентгеновского излучения;
- длина волны фотона, рассеянного под углом к первоначальному направлению движения, после взаимодействия с электроном; m – масса электрона отдачи.
Комптоновская длина волны:
,
(при рассеянии фотона на электроне = 2,436 пм).
2. Примеры решения задач
2.1. Тепловые излучения.
Пример 2.1.1.
Исследование спектра излучения Солнца, показывает, что максимум спектральной плотности энергетической светимости соответствует длине волны λ = 500 нм. Принимая Солнце за чёрное тело, определить: 1) Энергетическую светимость RT Солнца; 2) Поток энергии, излучаемый Солнцем; 3) Массу m электромагнитных волн, излучаемых Солнцем за 1 с.
Решение:
1) Энергетическая светимость чёрного тела выражается формулой Стефана – Больцмана:
(1)
Температура излучающей поверхности может быть определена из закона смещения Вина: λm=b/T. Выразив отсюда температуру и подставив ее в формулу (1), получим
(2)
Произведя вычисления по формуле (2), найдем
= 64 МВт/м2
2) Поток энергии Фе излучаемый Солнцем, равен произведению энергетической светимости Солнца на площадь S его поверхности:
Фе = S или Фе = 4πR2С (3)
где RC– радиус Солнца.
Подставив в формулу (3) значения и произведя вычисления, получим Фе = 3,9 ∙ 1026 Вт.
3) Массу электромагнитных волн (всех длин) излучаемых Солнцем за время t = 1 с, определим, применив закон пропорциональности массы и энергии E = mc2. Энергия электромагнитных волн, излучаемых за время t, равна произведению потока энергии Ф (мощности излучения) на время: Е=Фt. Следовательно, Фе = mс2, откуда m = Фе/с2. Произведя вычисления по этой формуле, найдем m = 4,3 ∙ 103 кг.
Пример 2.1.2.
Длина волны λm, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения черного тела, равна 0,58 мкм. Определить максимальную спектральную плотность энергетической светимости (r λ,т)max, рассчитанную на интервал длин волн Δλ= 1 нм, вблизи λm.
Решение. Максимальная спектральная плотность энергетической светимости пропорциональна пятой степени температуры Кельвина и выражается формулой
(1)
Температуру Т выразим из закона смещения Вина λm = b1/T, откуда T=b1/λm.
Подставив полученное выражение температуры в формулу (1), найдем (2).
В таблице значение b2 дано в единицах СИ, в которых единичный интервал длин волн Δλ = 1 м. По условию же задачи требуется вычислить спектральную плотность энергетической светимости, рассчитанную на интервал длин волн 1 нм, поэтому выпишем значение С в единицах СИ и пересчитаем его на заданный интервал длин волн:
b2 = 1,30 ∙ 10-5 Вт/(м3 ∙ К5) = 1,30 ∙ 10-5 Вт/(м2∙м∙К5) = 1,30 ∙ 10-14 Вт/(м2∙нм∙К5).
Вычисление по формуле (2) дает
(rλ,T)max = 40,6 кВт/(м∙нм).
Пример 2.1.3.
Электрическая печь потребляет мощность Р = 500 Вт. Температура ее внутренней поверхности при открытом небольшом отверстии диаметром d = 0,5 см равна 7000 С. Какая часть потребляемой мощности рассеивается стенками?
Решение:
При установившемся тепловом режиме печи вся ежесекундно потребляемая ею электрическая энергия (т.е. мощность) Р излучается наружу отверстием и стенками, следовательно,
, (1)
где Фэ’ и Фэ’’ – потоки излучения , испускаемые отверстием и стенками соответственно. В задаче требуется найти отношение , (2)
Рассматривая излучение печи через небольшое отверстие в ней как излучение абсолютно черного тела, из формулы и закона Стефана – Больцмана находим
Фэ’ = RэS = σT4πd2/4. (3)
По формуле (2) и с учетом (3) получим
.
Подставив в формулу числовые значения величин, выраженных в единицах СИ, и выполнив вычисление, найдем ответ:
Пример 2.1.4.
Какую энергетическую светимость имеет затвердевающий свинец? Отношение энергетических светимостей свинца и абсолютно черного тела для данной температуры (T = 600К)
Решение:
Энергетическая светимость «серого тела» определяется уравнением:
RT’ = aτ ∙ Rэ , (1)
где aτ – поглощательная способность серого тела;
= aτ – коэффициент поглощения затвердевающего свинца; Rэ – энергетическая светимость (излучательность) абсолютно черного тела.
, (2)
где - спектральная плотность энергетической светимости; - постоянная Стефана – Больцмана; T – абсолютная температура излучающего тела;
Подставляя выражение (2) в (1), получим:
Rэ’ = ∙ = 0,6 ∙ 5,67 ∙10-8 ∙ 6004 = 4,6 кВт/м2.
Ответ: Rэ’ = 4,6 кВт/м2.
Пример 2.1.5
Какую энергетическую светимость Rэ имеет абсолютно черное тело, если максимум спектральной плотности его энергетической светимости приходится на длину волны
λ = 484 нм.
Решение:
Энергетическая светимость Rэ поверхности абсолютно черного тела определяется по закону Стефана – Больцмана:
,
Из закона смещения Вина , тогда получим:
Вт/м2.
Ответ: Rэ = 73,5 МВт/м2.
Пример 2.1.6.
В спектре Солнца максимум спектральной светимости приходится на длину волны λ0 = 0,47 мкм. Приняв, что Солнце излучает как абсолютно черное тело, найти интенсивность солнечной радиации (т.е. плотность потока излучения) вблизи Земли за пределами ее атмосферы.
Решение:
Согласно определению плотности потока излучения I, называемой также интенсивностью излучения (радиации), можно записать:
(1)
где Wэ – энергия излучения, Фэ = Wэ/t – поток излучения сквозь поверхность S. Сравнивая (1) и видим, что величины I, Rэ выражаются в одинаковых единицах.
Очевидно, интенсивность излучения Солнца вблизи Земли пропорционально энергетической светимости поверхности Солнца. Чтобы найти связь между величинами I, Rэ, учтем, что весь поток излучения, испускаемый поверхностью Солнца (пусть r - радиус Солнца), проходит сквозь поверхность сферы радиуса r, равного расстоянию от Солнца до Земли: Фэ = Rэ4πrc2 = I4πr2, отсюда:
I = Rэrc2/r2 (2)
Используя закон Стефана – Больцмана и вычислив температуру солнечной поверхности по закону смещения Вина, находим
Rэ = σT4 = σ(b/λ0)4. (3)
Так как величины r, rc – табличные, то, записав в (2) вместо Rэ ее значение из (3), определим искомую величину:
(4)
Подставим в (4) числовые значения величин, выраженные в СИ и выполнив вычисление, получим
I = 1,8 ∙ 103 Вт/м2 = 1,8 кВт/м2.
Пример 2.1.7.
Поверхность тела нагрета до температуры К. Затем одна половина этой поверхности нагревается на К, а другая охлаждается на К. Во сколько раз изменится светимость поверхности этого тела?
Дано:
К
К
К
Решение:
Энергетическая светимость поверхности абсолютно черного тела определяется по закону Стефана – Больцмана:
Отсюда .
Ответ: увеличится в 1,06 раз.
Пример 2.1.8.
Н асколько уменьшится масса Солнца за год вследствие излучения? За какое время масса Солнца уменьшиться вдвое? Температура поверхности солнца К. Излучение Солнца считать постоянным.
Дано:
К
м
с
Решение:
Энергия, излучаемая Солнцем за время равна:
тогда .
кг.
лет.
Ответ: кг; лет.
Пример 2.1.9.
Определить температуру поверхности Солнца, если известно, что на границе земной атмосферы плотность потока солнечного излучения равна Излучение Солнца считать близким к излучению абсолютно черного тела.
Решение:
Плотность потока волнового излучения, испускаемого единицей поверхности абсолютной черного тела, определяется законом Стефана – Больцмана:
Отсюда
Для изменения значения плотности потока надо полную мощность W излучения Солнца разделить на площадь его поверхности:
Полную мощность излучения Солнца определим из выражения:
где S – поверхность сферы, имеющей радиус , равный расстоянию от Солнца до Земли.
Так как , то
К.
Ответ: К.
Пример 2.1.10.
Д лина волны, на которую приходится максимум энергии излучения Солнца, мкм. Найти изменение массы Солнца за время t = 10 лет. Солнце считать абсолютно черным телом.
мкм
лет
Решение:
Изменение массы Солнца за 10 лет определим отношение излученной им энергии к квадрату скорости света c:
(1)
Излученную энергию найдем, умножив
интегральную светимость Солнца на площадь поверхности Солнца и время
или (2)
Согласно закону Стефана – Больцмана:
. (3)
Абсолютную температуру солнца найдем из закона смещения Вина:
(4)
Подставим выражение (4) в (3):
(5)
Теперь подставим выражение (5) в (2):
(6)
Подставим формулу (6) в (1):
или
Ответ: .
Пример 2.1.11.
В спектре Солнца максимум спектральной плотности энергетической светимости приходится на длину волны
λ0 = 0,47 мкм. Приняв, что Солнце излучает как абсолютно черное тело, найти интенсивность солнечной радиации (т.е. плотность потока излучения) вблизи Земли за пределами ее атмосферы.
Согласно определению плотности потока излучения , называемой так же интенсивностью излучения (радиации), можно записать:
(1)
где Wэ – энергия излучения, Фэ = Wэ / t – поток сквозь поверхность S. Сравнивая выражения (1) и энергетическую светимость RТ = , видим, что величины I,RТ выражаются в одинаковых единицах.
Очевидно, интенсивность излучения I Солнца вблизи Земли пропорциональна энергетической светимости Rэ поверхности Солнца. Чтобы найти связь между величинами I,Rэ, учтем, что весь поток излучения, испускаемый поверхностью Солнца (пусть RС – радиус Солнца), проходит сквозь поверхность сферы радиуса r, равного расстоянию от Солнца до Земли:
отсюда:
. (2)
Используя закон Стефана – Больцмана и вычислив температуру солнечной поверхности по закону смещения Вина λ0T = b, находим
(3)
Так как величины r, r0 – табличные, то записав в (2) вместо Rэ ее значение из (3), определим искомую величину:
(4)
Подставим в формулу (4) числовые значения величин, выраженных в единицах СИ: λ0 = 0,47 ∙ 10-6 м, RC = 6,95 ∙ 108 м, r = 1,50 ∙ 1011 м, σ = 5,67 ∙ 10-8 Вт/(м2 ∙ Т4), b = 2,90 ∙ 10-3 м ∙ К. Выполнив вычисление, получим
1,8∙103 Вт/м2 = 1,8 кВт/м2