Лабораторная работа № 4 однофакторный дисперсионный анализ

I. Довольно часто исследователь сталкивается с явлением разброса средних значений , , , …, наблюдаемых случайных величин , , , …, под действием различных факторов - источников изменчивости.

Выявление и количественная оценка влияния отдельных факторов (источников изменчивости) на исследуемый признак и является задачей дисперсионного анализа.

Пусть мы наблюдаем m независимых нормально распределенных случайных величин , , , …, с математическими ожиданиями , , …, и одинаковой для всех дисперсией ².

Над каждой переменной (1  i  m) произведена серия из n опытов.

, ,…, (1  i  n)

Требуется проверить нуль гипотезу H₀:

= = = … = (1)

3. Результаты наблюдений обычно сводятся в таблицу.

Таблица 1
	1	2	3	…	N
	x11	x12	x13	…	x1n
	x21	x22	x23	…	X2n
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
	xm1	xm2	xm3	…	xmn

4. Выполнение дисперсионного анализа заключается в сравнении оценки - дисперсии, вызванной изучаемым фактором изменчивости А и ocтаточной оценки дисперсии , обусловленной случайными погрешностями измерений.

5. Для этих целей используется критерий F - Фишера с вы­бранным уровнем значимости q.

F_p = (2)

где

= (3)

с числом степеней свободы _a = m — 1;

= (4)

с числом степеней свободы _R = mn — n .

Если F – критерий обнаружит значимое расхождение между и гипотеза Н₀ недопустима

6. Q_A = (5)

Q_A – представляет собой взвешенную сумму квадратов отклонений средних по переменным от общего среднего или “рассеиванием по переменным” фактора А (фактора изменчивости).

Здесь

= , для i = 1, 2, …, m (6)

= = (7)

7. Q_R = (8)

- cyммa квадратов отклонений реализаций x_ij от соответствующих средних

8. Порядок выполнения работы.

8.1. Результаты опытов занести в таблицу вида 1.

8.2. Вычислить и .

8.3. Вычислить Q_A и Q_R.

8.4. Найти _a и _R.

8.5. Вычислить и .

8.6. Вычислить значение F – критерия.

8.7. По значению доверительной вероятности  найти q_q = 100 (1 - ) %.

8.8. По статистической таблице найти F_кр (_R, _a, q)

8.9. Если F_p < F_кр, то Н₀ принимается, в противном случае отвергается

8.10. Сделать выводы. Оформить работу.

9. Пример. Произведено по 4 замера на каждом из трех приборов температуры С⁰ протекания некоторой реакции. Результаты све­дены в таблицу. Предполагается, что выборки извлечены из нор­мальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Методом диспер­сионного анализа с доверительной вероятностью  = 0.95 прове­рить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий.

9.1. Результаты представлены таблицей.

	1	2	3	4
T1	71	72	75	77
T2	72	74	76	78
T3	68	64	70	72

9.2.

= = 73.75;

= = 75;

= = 68.5

= = 72.42

9.3.

Q_A = 4[(73.75 – 72.42)² +(75 – 72.42)² +(68.5 – 72.42)² +(73.75 – 72.42)² ]  95.2

Q_R = (71 – 73.75)² + (72 – 73.75)² + (75 – 73.75)² + (77 – 73.75)² +

(72 – 75)² + (74 – 75)² + (76 – 75)² + (78 – 75)² +

(68 – 68.5)² + (64 – 68.5)² + (70 – 68.5)² + (72 – 68.5)² = 77.74 (82.76)

9.4.

_R = mn – m = 34 – 3 = 9; _a = m – 1 = 3 – 1 = 2.

9.5.

= = = 8.64; = = = 47.6.

9.6.

F_P = = 5.51

9.7.

q = 100(1 – 0.95)% = 5%

9.8. По таблице приложения при _A = 2; _R = 9 и q = 5% находим F_кр = 4,3

9.9. F_p > F_кр – H₀ отвергается.

9.10. Среднее значение замеров по приборам различаются значимо, т.е. эти приборы можно считать настроенными неодинаково (приборы разнородны).

Практические задания. Произведено по пять замеров на четырех автоматах, обрабатывающих ролики. Ролики были измерены по диаметру. В таблицах приводятся отклонения в мм от номинального размера диаметра ро­лика для каждого из автоматов. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Методом дисперсионного анализа проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий замеров для каждого автомата. Варианты заданий получить у преподавателя.