10. Практические задания

Использовав выборки наблюдений заданий лабораторной работы № 1, выровнять статистические ряды с помощью нормального распределения. При построении гисто­грамм проверить разбивку интервала изменения случайной величины Х на 6 частей.

Лабораторная работа n3 сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

1. При обработке опытных данных часто приходится решать задачу, целью которой является исследование зависимости одной физической величины Y от другой физической величины X. Предполагается, что эти величины связанны некоторой зависимостью

(1)

где - искомые параметры.

2. На практике функция (1) (уравнение регрессии) выбирается в виде полинома

(2)

Иногда употребляются и другие элементарные функции: дробно-линейная, степенная, логарифмическая и т.д.

3. Геометрическая задача подбора аналитической функции состоит в проведении такой кривой вида (2) (линии регрессии), которая возможно “ближе” примыкает к системе точек (x_i y_i), (i = 1, 2, …, n), образовавшихся в результате n реализаций случайных величин X, Y

Результаты реализаций оформляются в виде таблицы.

xi	x1	x2	…	xm
yi	y1	y2	…	ym

4. Наибольшее распространение для решения этой задачи получил метод наименьших квадратов (МНК).

Согласно МНК наилучшей функцией приближения (уравнением регрессии) будет такая, для которой сумма квадратов отклонений

(3)

будет минимальной.

Выбор функции “близости“ в виде (3) обеспечивает несмещенные и состоятельные оценки параметрам когда случайные величины X и Y подчинены нормальному закону распределения .

5. использование нескольких условий существования экстремума функции нескольких переменных, определяет так называемую систему уравнений для отыскивания параметров

(4)

или в развернутом виде

(5)

Решение одним из методов (например по правилу Крамера) системы (5) относительно параметров дает искомые оценки, и, следовательно, определяет аналитический вид функции (2).

6. Если уравнение регрессии линейно т.е.

то его адекватность проверяется при помощи коэффициента корреляции, оценка которого

(6)

где - оценка корреляционного момента

_x, _y – оценки среднеквадратичных отклонений случайных величин X, Y соответственно.

Чем ближе коэффициент корреляции приближается к +1 или –1, тем сильнее линейная связь и, следовательно, точнее регрессионное уравнение описывает заданную статистику.

7. Если уравнение регрессии нелинейно, то его адекватность проверяется корреляционным отношением, оценка которого

(7)

Y_i – значение величины Y, полученное по уравнению регрессии в точке x_i

Чем ближе корреляционное отношение к 1, тем теснее связь, точнее регрессионное уравнение описывает заданную статистику.

8. Значимость коэффициента корреляции проверяется по t - критерию Стьюдента

(8)

с  = n - 2 степенями свободы. Если вычисленная по формуле (8) величина по модулю меньше, чем в статистической табл. t_кр(, q), то полагают, что теоретический коэффициент корреляции равен нулю, т.е. не значим, в противном случае значим, и его надо учитывать.

9. Значимость корреляционного отношения проверяется по критерию Фишера

(9)

(m –1 – число параметров в уравнении регрессии) с числами степеней свободы ₁ = m и ₂ = n – (m+1). Если вычисленная по формуле (9) величина F_p больше чем выбранная из статистической таблицы F_кр(_1, _2, q), то значим и его надо учитывать.

10.1 Выбрать вид регрессионного уравнения

10.2 Исследуя таблицу исходных данных, составить систему нормальных уравнений вида (5)

10.3 Решить систему нормальных уравнений относительно параметров

Записать аналитический вид регрессионного уравнения.

Вычислить оценки коэффициента корреляции или корреляционного отношения.

Проверить значимость полученных оценок.

Построить на графике теоретическую кривую и отложить значения таблицы (для наглядности).

Сделать выводы и оформить работу.

11. Пример. Вычислить параболическую регрессию Y на X для данных, сведенных в таблицу.

Xi	1	2	3	4	5	6	7
Yi	1.33	2.57	4.17	5.0	5.33	6.50	6.0

C доверительной вероятностью  = 0.95 проверить ее адекватность.

11.1. По условию задачи уравнение регрессии надо выбирать в виде

(10)

II.2. Составим систему нормальных уравнений вида (5) при m = 2; n = 7.

(11)

Для вычисления коэффициентов при составим вспомогательную таблицу

N	xi	yi	X2i	X3i	X4i	XiYi	X2iYi
1	1	1.33	1	1	1	1.33	1.33
2	2	2.57	4	8	16	5.14	10.28
3	3	4.17	9	27	81	12.51	37.53
4	4	5.0	16	64	256	20.0	80
5	5	5.33	25	125	625	26.65	133.25
6	6	5.50	36	216	1296	33	198.00
7	7	6.0	49	343	24.01	42	294
	28	29.90	140	784	4676	140.63	764.39

Тогда систему нормальных уравнений можно записать так

(12)

для решения этой системы сначала разделим числовые коэффициенты каждого уравнения на коэффициенты при ,получим

(13)

решаем систему по правилу Крамера

= 0,б

= 0,53 = - 0,017

; ;

11.3. Уравнением регрессии будет

Y = 1.07 + 00.88X - 0.017X²

11.4. Так как уравнение регрессии нелинейно, то будем вычислять корреляционное отношение по формуле (7)

Найдем

Для удобства опять воспользуемся таблицей

N	Yi	y	yi-Yi	yi-	(yi-Yi)	(yi- )2
1	1.33	1.93	-0.6	-2.94	0.36	8.64
2	2.57	2.76	-0.19	-1.7	0.036	2.89
3	4.17	3.56	0.61	-0.1	0.372	0.01
4	5.	4.32	0.68	0.73	0.462	0.583
5	5.33	5.05	0.28	1.06	0.078	1.124
6	5.5	5.74	-0.24	1.23	0.058	1.513
7	6.0	6.39	-0.39	1.73	0.152	2.99
					1.518	17.7

Величина корреляционного отношения близка к 1.

11.5. Проверим значимость полученного корреляционного отношения при

m = 2; n = 7

Тогда

т.к.  = 0.95 то q = 5%

По таблице 5 приложения для ₁ = 2; ₂ = 4; q = 5% находим F_КР = 6.9 и т.к. 18.51>6.9 то полученный критерий значим.

11.6. Для наглядности построим графики регрессионного уравнения и отложим точки исходной статистики (смотри предыдущую таблицу) .

11.7. Уравнение регрессии

Y = 1.07 + 0.88X - 0.017X²

адекватно описывает исходную статистику и может быть используемо для дальнейших исследований.

12. Практические задания.

12.1. Количество Y вещества в % оставшегося в системе через T минут от начала химической реакции, дается таблицами. Составить параболическое уравнение регрессии между Y и T и проверить его аддитивность с доверительной вероятностью  = 0,095. Варианты заданий получить у преподавателя. 12.2. Выпуск некоторым предприятием промышленной продукции Y (млн. руб.) по годам X характеризуется данными таблиц.

Найти зависимость Y и X в виде параболы и проверить ее адекватность с доверительной вероятностью  = 0,95. Варианты заданий получить у преподавателя.

12.3. В опыте исследовалась зависимость глубины проникновения Y (мм) тела в преграду от удельной энергии  Кгм/см (энергии, приходящейся на квадратный сантиметр площади). Экспериментальные данные приведены в таблицах. Требуется подобрать прямую, выражающую зависимость Y от  и проверить ее адекватность с доверительной вероятностью  = 0,8. Варианты заданий получить у преподавателя.