ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический

университет»

Кафедра технологии машиностроения

- 2014

Методические указания

к выполнению лабораторных и практических работ

по дисциплине

“Планирование и методика экспериментальных исследований” для студентов направления подготовки магистров

151900.68 «Конструкторско-технологическое

обеспечение машиностроительных производств»

всех форм обучения

Воронеж 2014

Составитель канд. техн. наук А.В. Перова

УДК 519.242

Методические указания к выполнению лабораторных и практических работ по дисциплине "Планирование и методика экспериментальных исследований" для студентов направления подготовки магистров 151900.68 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств» всех форм обучения / ФГБОУ ВПО "Воронежский государственный технический университет"; сост. А.В. Перова. Воронеж, 2014. 25 с.

Методические указания включают краткие теоретические сведения по основам планирования эксперимента, методику и порядок выполнения лабораторных и практических работ, снабжены перечнем рекомендуемой литературы и конкретными примерами методов экспериментальных исследований в машиностроении.

Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS Word XP и содержится в файле ПиМЭИ.doc.

Табл. 14. Ил. 4. Библиогр.: 4 назв.

Рецензент д-р. техн. наук, проф. А.И. Болдырев

Ответственный за выпуск зав. кафедрой

канд. техн. наук И.Т. Коптев

© ФГБОУ ВПО

"Воронежский государственный

технический университет", 2014

Лабораторная работа 1 статистическая оценка параметров распределения, гистограмма. Доверительный интервал

Целью лабораторной работы является обучение наиболее эффек­тивному овладению практикой вычислений и навыкам использования основных формул и алгоритмов математической статистики.

1. При конкретных практических исследованиях в распоряжении имеется ограниченное число реализации случайной величины X, образующих выборочную совокупность (выборку). По выборке можно вычислить оценки соответствующих статистических характеристик ге­неральной совокупности.

2. Выборка представляется простым статистическим рядом. Обыч­но такой ряд оформляют в виде таблицы с одним входом, в первой строке которой стоит номер опыта, а во второй - реализации слу­чайной величины.

Таблица 1
i	1	2	3	...	n
xi	x1	x2	x3	...	xn

3. Состоятельные несмещенные оценки математического ожидания ( ) и дисперсии ( ) имеют следующий вид:

, (1)

. (2)

Эти формул могут быть использованы для непосредственного расчета по данным простого статистического ряда; расчет становится громоздким при большом объеме выборки (n - большое). В этом случае выборку удобнее оформлять в виде статистического (вариационного) ряда.

4. Выборка преобразуется в форму статистического (вариацион­ного) ряда по следующему правилу:

4.1. Весь диапазон, изменения [x_min; x_max ] случайной величины делится на k интервалов, где k, приближенно можно выбрать по полуэмпирической формуле:

k = 1 + 3,2 lg n (3)

с округлением до ближайшего целого. Длины всех интервалов выби­раются равными

 = . (4)

4.2. Подсчитывается m_i (1 i k) – число реализаций случайной величины, по­павших в I-й интервал. Если значение x_i попада­ет на границу внутри диапазона изменения Х между i - м и i + 1 - м интервалами, то рекомендуется к m_i и m_i+1 прибавить по 1/2. Оп­ределяется относительная частота, соответствующая каждому интервалу

= . (5)

4.3. Статистический (вариационный) ряд оформляется в виде таблицы

Таблица 2
X	x1; x2	x2; x3	…	xi; xi+1	…	xk; xk+1
mi	M1	m2	…	mi	…	mk
			…		…

4.4. Статистический (вариационный) ряд может оформляться графически в виде гистограмм. Гистограмма изображается в виде прямоугольников, площадью, равной относительной частоте соответствующих интервалов, основанием которых служат длины интерва­лов , отложенные по оси абсцисс (рис. 1).

Рис.1

З а м е ч а н и е. Количество интервалов, их длины, а также масштаб могут изменяться в зависимости от решаемых задач.

5. По построенному статистическому (вариационному) ряду несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии вычисля­ются так

= , (6)

= , (7)

где = - координата середины i -го интервала.

6. Интервал I_ = ( - ₁; + ₂) называется доверительным интервалом с доверительной вероятностью , если выполняется соотношение

P( - ₁ < a < + ₂ ) = , (8)

где (a - точное значение некоторого параметра; - оценка параметра , ₁ и ₂ - искомые числа.

Величина q называется уровнем значимости критерия проверки

q = 100(1-  )% (9)

7. Доверительный интервал для m_x при неизвестной дисперсии :

7.1. Построение доверительного интервала основано на том, что величина

T = (10)

распределена по закону Стьюдента с  = n - 1 степенями свободы.

7.2. По статистической таблице распределения Стьюдента для  = n - 1 и уровня значимости q, можно найти такое t_кр, что интервал

= ( - t_кр ; + t_кр ) (11)

будет доверительным интервалом, соответствующим доверительной вероятности .

8. Доверительный интервал ;

8.1. Построение доверительного интервала основано на том, что величина распределена по закону (хи - квадрат) с  = n – 1 степенями сво­боды.

8.2. По статистической таблице для  = n – 1 и вычисленным по данному значению q вероятностям

(12)

можно найти такие числа , , что интервал I_ = будет доверительным интервалом для , соответствующим довери­тельной вероятности  .

9. Порядок выполнения работы:

9.1. Преобразовать простой статистический ряд в форму ста­тистического (вариационного) ряда:

- вычислить k и  ;

- определить m_i и вычислить ;

- оформить ряд в виде таблицы;

- построить гистограмму.

9.2. Вычислить и .

9.3. Построить доверительный интервал для m_x:

- найти  и по заданному  вычислить q;

- по статистической таблице найти t_кр;

- построить I_.

9.4. Построить доверительный интервал для ;

- по значению q вычислить Р₁ и Р₂;

- по статистической таблице найти , ;

- построить I_.

9.5. Сделать выводы, оформить работу.

10. Пример. Произведено 10 независимых наблюдений над нормально распределенной случайной величиной, характеризую­щей отклонение в мм длины детали от требуемой по техническим условиям. Результаты опытов представлены в виде простого статистичес­кого ряда.

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xi	2,5 п	-0,2	-2,3	-1.25	-1.1	0.4	1.2	-2,5	0,5	-0.7

Построить статистический (вариационный) ряд и гистограмму, найти оценки для математического ожидания и дисперсии, построить соответствую­щие доверительные интервалу дяя  = 0.95.

10.1. Преобразуем выборку в форму статистического (вариаци­онного ряда).

Здесь:

k = 1 +3.2* lg10 = 1 +3.2 = 4;

 = = = 1.25

Найдем m_i. Для этого сформируем интервалы разбиения (m_i - число попаданий в интервал). Результаты сведем в таблицу 3.

Таблица 3

X	-2.5; -1.25	-1.25; 0	0; 1.25	1.25; 2.5
mi	2.5	3.5	3	1

Вычислим и оформим таблицу 4.

Таблица 4

X	-2.5; -1.25	-1.25; 0	0; 1.25	1.25; 2.5
mi	2.5	3.5	3	1
	0.25	0.35	0.3	0.1

Построим гистограмму

10.2. Вычислим и

= - 1. 875 * 0.25 + (- 0,625)*0.35 + 0.625*0.3 + 1.875*0.1 = - 0.469 – 0.219 + 0.188 + 0.188 

 - 0,312.

= [(-1/563)²*0.25 + (-0.313)²*0.35 + (0.313)²*0.3 + (1.563)²*0.1 ] 

 [0.611 + 0.034 + 0.029 + 0.244] = 1.02

Тогда

  1.009

10.З. Построим доверительный интервал для

 = n – 1 = 10 – 1 = 9;  = 0.95;

q = 100*(1 – 0.95) % = 5 %

Используем статистическую таблицу, найдем:

t_кр  2.26, тогда t_кр = 2.26  0.72

тогда доверительный интервал для будет

I_ = (–0.312 – 0.72; –0.312 + 0.72 ) = (-1.032; 0.408)

10.4. Построим доверительный интервал для

Вычислим Р₁ и Р₂

Р₁ = 1 - = 0.975,

Р₂ = 0.025

По статистической таблице, зная Р₁, Р₂ и  = 9, найдем

 2.7;  19.02

Вычислим (n - 1)  91.02  9.18

Тогда

 (0.48; 3.4)

Ответ:  -0.312;  1.02;

I_ = (-1.032; 0.408);  (0.48; 3.4).

Практические задания

Произведено n независимых наблюдений над нормально рас­пределенной случайной величиной Х, характеризующей процент вы­хода бракованных изделий с технологической операции.

Результаты опыта сведены в таблицы (по вариантам получить у преподавателя).

Требуется: построить статистический ряд и гистограмму, найти оценки для математического ожидания и дисперсии, построить соответствующие доверительные интервалы с известным .