Задача № 2

Атомарными формулами логики высказываний называются буквы алфавита (например, U, V, W, X, Y, Z) с индексами и без них, и символы истины - 1 и лжи - 0.

Формулами логики высказываний называются:

1) атомарные формулы;

2)выражения вида (F)(G), (F), (F)(G), где F и G – формулы логики высказываний.

Построим таблицу истинности для формулы F=(XY) ↔ (XY):

		XY	XY	F=(XY) ↔ (XY)
0	0	0	1	0
0	1	0	1	0
1	0	0	0	1
1	1	1	1	1

Определить, является ли данная последовательность формулой и построить для формул таблицы истинности:

а)

б)

в)

г)

д)

Задача № 3

Пусть необходимо определить, является ли формула F=XYX тождественно истинной. Составим таблицу истинности:

		XY	F= XYX
0	0	0	1
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	1

Столбец формулы F состоит из одних единиц, значит, формула F тождественно истинна. В случае, если столбец формулы F состоит из одних нулей, формула является тождественно ложной (или противоречием). Если в столбце присутствуют и 0 и 1, формула является опровержимой.

Будут ли следующие формулы тождественно истинны:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

Построив таблицу истинности, определить, является ли каждая из следующих формул тавтологией, противоречием либо опровержимой:

а)

б)

в)

г)

д)

Задача № 4

Пусть необходимо проверить равносильность формул F=XY и G = XY. Построим совместную таблицу истинности этих формул:

		XY=F		G= Y
0	0	1	1	1
0	1	1	1	1
1	0	0	0	0
1	1	1	0	1

Столбцы формул F и G совпадают, значит F и G равносильны.

Равносильность формул можно доказать, используя законы логики высказываний. Например, докажем равносильность формул:

F=(X(ZY))  ((XZ)Y) и G=(XY)(Y ).

F=(X( Y))  (( Z)Y)=

(по закону дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции)

=(X )(XY)( Y)(ZY)=(X )YZY)=Y(X )=(XY)(Y )=G .

Следовательно, формулы F и G равносильны.

Используя законы логики высказываний и таблицы истинности, определить, будут ли следующие формулы равносильны:

а) и

б) и

в) и

г) и

д) и

е) и

ж) и

з) и

и) и

к) и

л) и

м) и

Задача № 5

Один из способов проверки того, является ли данное умозаключение логически правильным, заключается в том, что следует восстановить схему рассуждения и определить, относится ли она к схемам логически правильных рассуждений. Например, определим, к какой схеме относится следующее рассуждение и является ли оно логически правильным: «Если рабочий отсутствовал на работе, он не выполнил задания. Он не выполнил задания. Следовательно, он отсутствовал на работе».

Обозначим каждое из простых высказываний: «Если рабочий отсутствовал на работе (А), он не выполнил задания (В). Он не выполнил задания (В). Следовательно, он отсутствовал на работе (А)». Схема данного рассуждения:

.

Она относится к схеме неправильных рассуждений, следовательно, это рассуждение неверно.

Рассмотрим еще один способ проверки логичности рассуждения. Например: «На складе совершено хищение. Подозрение пало на 3-х человек: А, В и С. Они были доставлены для допроса. Установлено следующее:

1) Никто кроме А, В, и С не был замешен в деле.

2) А никогда не ходит на дело без, по крайней мере, одного соучастника.

3) С – не виновен.

Вопрос - виновен ли В?»

Обозначим через А – «А виновен», В – «В виновен», С – «С виновен». Запишем утверждения 1-3 логическими формулами F₁-F₃:

F₁=АВС, F₂=АВС, F₃=

Предполагаемый ответ – «В виновен» обозначим через G. Проверим, является ли G логическим следствием F₁, F₂, F₃. Для этого составим совместную таблицу истинности формул:

А	В	С	F1	F2	F3	G
0	0	0	0	1	1	0
0	0	1	1	1	0	0
0	1	0	1	1	1	1
0	1	1	1	1	0	1
1	0	0	1	0	1	0
1	0	1	1	1	0	0
1	1	0	1	1	1	1
1	1	1	1	1	0	1

В третьей и седьмой строках формулы F₁…F₃ принимают значения 1 и формула G в этих строках также принимает значение 1. Следовательно, G является логическим следствием формул F₁, F₂, F₃, т.е. В – виновен.

Пусть необходимо доказать, что формула G=XY является логическим следствием формул F₁…F₃: F₁=XYZ, F₂=ZW, F₃= . Для решения данной задачи можно воспользоваться описанным выше способом – построить совместную таблицу истинности. Но в данном случае она будет громоздкой (16 строк). Существует другой подход – метод от противного.

Предположим противное: пусть существует интерпретация  такая, что:

(F₁)=(F₂)=(F₃)=1 и (G)=0.

Первый шаг: т.к. (F₃)=1, то ( )=1, значит, (W)=0.

Второй шаг: т.к. (W)=0, (F₂)=1, значит, (Z)=0;

Третий шаг: т.к. (G)=0, то (X)=1 и (Y)=0;

Четвертый шаг: т.к. (X)=1, (Y)=0, (Z)=0, значит, (F₁)=0, а это противоречит условию (F₁)=(F₂)=(F₃)=1. Вывод: противоречие указывает, что G есть логическое следствие F₁, F₂, F₃.

Рассмотрим ещё один метод доказательства логического следствия - метод резолюций. Например, проверим, является ли формула G=Z логическим следствием формул F₁= YX&Z, F₂= Z. Сформируем множество формул T={F₁,F₂, }. Для этого приведем формулы F₁ и F₂ к КНФ (формула уже имеет эту форму). Получим:

F₁ = X&( Z),

F₂ = (YZ).

Тогда множество дизъюнктов S равно:

{X, Z, YZ, }.

Из множества S легко выводится пустой дизъюнкт, следовательно, формула G является логическим следствием формул F₁ и F₂.

Метод резолюций легко поддается алгоритмизации. Это позволяет использовать его в логических языках программирования. Например, множество дизъюнктов S равно:

.

Алгоритм склеек образует структуру древовидной формы (рисунок):

10

Структура алгоритма склеек

Из множества S легко выводится пустой дизъюнкт, следовательно, логическое следствие доказано.

Записать следующие рассуждения в виде последовательности формул логики высказываний и проверить, являются ли они логичными:

а) «Если рабочий отсутствовал на работе, он не выполнил задания. Он не выполнил задания. Следовательно, он отсутствовал на работе».

б) «Этот человек студент или предприниматель. Он студент. Следовательно, он не предприниматель».

в) «Этот человек постоянно живет в Москве или в Воронеже. Он не живет в Москве. Следовательно, он живет в Воронеже».

г) «Сегодня понедельник или вторник. Сегодня вторник. Следовательно, сегодня не понедельник».

д) «Профсоюзы штата будут поддерживать губернатора, если он подпишет этот закон. Фермеры окажут ему поддержку, если он наложит на него вето. Очевидно, что он или не подпишет закон, или не наложит на него вето. Следовательно, губернатор потеряет голоса рабочих, объединенных в профсоюзы, или голоса фермеров».

е) «Если мы не будем продолжать политику сохранения цен, то мы потеряем голоса фермеров. Если же мы будем продолжать эту политику и не прибегнем к контролю над производством, то продолжится перепроизводство. Без голосов фермеров нас не переизберут. Значит, если нас переизберут, и мы не прибегнем к контролю над производством, то продолжится перепроизводство».

ж) «Если завтра будет хорошая погода, то я буду кататься на коньках или я пойду на лыжах. Если я пойду на лыжах, то лучше поехать за город, а если буду кататься на коньках, то останусь в городе. Мне не хочется завтра в выходной день оставаться в городе. Следовательно, если завтра будет хорошая погода, то я пойду на лыжах».

з) «Если Джонс не встречал этой ночью Смита, то Смит был убийцей или Джонс лжет. Если Смит не был убийцей, то Джонс не встречал этой ночью Смита, и убийство произошло после полуночи. Если убийство произошло после полуночи, то Смит был убийцей или Джонс лжет. Эксперты установили, что убийство произошло до полуночи. Следовательно, Смит был убийцей».

и) «В бюджете возникнет дефицит, если не повысят пошлины. Если в бюджете возникнет дефицит, то расходы на социальные нужды сократятся. Следовательно, если повысят пошлины, то расходы на социальные нужды не сократятся».

к) «Намеченная атака удастся, если захватить противника врасплох или его позиции плохо защищены. Захватить противника врасплох можно, только если он беспечен. Он не будет беспечен, если его позиции плохо защищены. Следовательно, намеченная атака не удастся».

л) «Если Марианна – не дочь дона Педро, то либо Хосе Игнасиас – отец Марианны, либо Луис Альберто – не её брат. Если Луис Альберто – брат Марианны, то Марианна – дочь дона Педро и Хосе Игнасиас лжет. Если Хосе Игнасиас лжет, то либо Луис Альберто – не брат Марианны, либо Хосе Игнасиас - её отец. Следовательно, Марианна – дочь дона Педро».

м) «Если фирма ориентирована на усиление маркетинга и сети распределения, то она намерена получить крупную прибыль на выпуске новых товаров. Если фирма предусматривает открытие более крупных магазинов и расширение торговой сети, то она намерена получить крупную прибыль на выпуске новых товаров. Фирма предусматривает усиление маркетинга и сети распределения или собирается открыть более крупные магазины и расширить торговую сеть. Следовательно, она намерена получить крупную прибыль на выпуске новых товаров».

Методом от противного определить, является ли формула G логическим следствием формул F₁,F₂,...,F_n:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Доказать с помощью метода резолюций, что формула G является логическим следствием формул F₁,F₂,...,F_n:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Задача № 6

Приведем к дизъюнктивной нормальной форме формулу .

1) Заменим XY на (XY)(YX). Исключим связки импликации и получим .

2) Занесем отрицания к подформулам: . Занесем отрицание к атомарным формулам: F₃=((Х )(Y ))Х.

3) Применим закон дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции. Получим F₄=(Х Х)(Y Х).

Формула F₄ имеет ДНФ, но ее можно упростить: Y Х=0 и Х Х= Х . Следовательно F₄ равносильна формуле F₅= Х .

Привести следующие формулы к ДНФ:

а)

б)

в)

г)

Задача № 7

Привести к конъюнктивной нормальной форме формулу:

.

.

Формула F₁ имеет КНФ, но ее можно упростить. Получим:

.

Привести следующие формулы к КНФ:

а)

б)

в)

г)

Задача № 8

Приведем формулу G=(XY)(X ) к СДНФ аналитическим способом.

1) Эта формула имеет ДНФ, поэтому переходим к следующему шагу.

2) XY заменим на (XYZ)(XY ); X заменим на (X Y)(X  ).

Получим: G=(XYZ)(XY )(X Y)(X  ).

3) Ни одна элементарная конъюнкция не содержит двух вхождений одного литерала, поэтому переходим к следующему шагу.

4) Формула G содержит две одинаковых элементарных конъюнкции – 2 и 3. Одну вычеркнем и получим: G₂=(XYZ)(XY )(X  ). Эта формула имеет СДНФ и равносильна исходной.

Приведем формулу F₁=Х₁(Х₂Х₃) к СДНФ табличным способом. Построим таблицу истинности F₁.

X1	X2	X3	X2X3	F1=Х1(Х2Х3)
0	0	0	1	0
0	0	1	1	0
0	1	0	0	0
0	1	1	1	0
1	0	0	1	1
1	0	1	1	1
1	1	0	0	0
1	1	1	1	1

Выделим строки, в которых в столбце F₁ стоит 1 –пятая, шестая и восьмая. Каждой строке ставится в соответствие элементарная конъюнкция, в которую переменная, принимающая значение истинности 1, входит без отрицания, а 0 – с отрицанием. После этого образуется дизъюнкция всех элементарных конъюнкций, которая и составляет СДНФ. Тогда F₂ = X₁X₂X₃ X₁X₂X₃ X₁X₂X₃ – искомая формула, равносильная F₁ и имеющая СДНФ.

Приведем к СКНФ формулу F=(Х )(YX).

Аналитический способ: F₁ =( )(YX) - СКНФ для формулы F.

Табличный способ:

			Х	YX
0	0	1	1	0	0
0	1	0	1	1	1
1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	1	0

Получим: F₁ = (YX)  ( ) – СКНФ для формулы F.

Табличным и аналитическим способом привести следующие формулы к СКНФ и СДНФ:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Акимов, О.Е. Дискретная математика: логика, группы, графы [Текст] / О.Е. Акимов. - М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.

2. Москинова, Г.И. Дискретная математика [Текст] / Г.И. Москинова. – М.: Логос, 2003.

3. Гончарова, Г.А. Элементы дискретной математики [Текст] / Г.А. Гончарова, А.А. Молчалин. – М.: Форум, 2003.

4. Нефедов, В.Н. Курс дискретной математики [Текст] / В.Н. Нефедов, В.А. Осипова. – М.: Издательство МАИ, 1992.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………….1

Задачи по логике высказываний…………………………..2

Библиографический список………………………………17

АЛГЕБРА ЛОГИКИ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к выполнению практических заданий

по курсу «Математическая логика и теория алгоритмов» для подготовки студентов по направлениям 230100.62 «Информатика и вычислительная техника» (профиль «Системы автоматизированного проектирования») и 230400.62 «Информационные системы и технологии» (профиль «Информационные системы и технологии») очной формы обучения

Составитель

Литвиненко Юлия Владимировна

В авторской редакции

Подписано в печать 04.05.2015

Формат 60x84/16. Бумага для множительных аппаратов.

Усл. печ. л. 1,3. Уч-изд. л. 1,1.

“С” Заказ N

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»