2. Классификация задач оптимизации и методов их решения

Задачи оптимизации можно классифицировать по следующим признакам.

1) По типу параметров задачи оптимизации:

- непрерывные задачи оптимизации;

- дискретные задачи оптимизации.

2) По критерию размерности допустимого множества параметров D:.

- задачи одномерной оптимизации;

- задачи многомерной оптимизации.

3) По критерию наличия или отсутствия ограничений на допустимое множество D (этот признак классификации имеет место как для одномерных, так и для многомерных задач оптимизации):

- задачи условной оптимизации;

- задачи безусловной оптимизации.

4) По характеру ограничений:

- детерминированная оптимизация;

- стохастическая оптимизация (если множество допустимых значений включает случайные компоненты).

5) По виду целевой функции и виду ограничений:

- линейное программирование (содержит линейную целевую функцию и ограничения);

- нелинейное программирование.

Рассмотрим постановки и методы решения основных задач оптимизации.

1) Задачи одномерной безусловной оптимизации:

,

т.е. задача без ограничений с одним варьируемым параметром x. Вид произвольный.

Методы решения задач одномерной безусловной оптимизации:

- методы исключения интервалов (метод половинного деления (дихотомии), метод золотого сечения, метод равномерного поиска);

- методы точечного оценивания на основе полиномиальной аппроксимации;

- методы с использованием производных (метод Ньютона-Рафсона).

2) Задачи многомерной безусловной оптимизации:

,

т.е. задача без ограничений с многомерным вектором. Вид произвольный.

Методы решения задач многомерной безусловной оптимизации:

- методы прямого поиска, использующие только значения целевой функции (метод переменного многогранника, метод покоординатного спуска, метод Мелдера-Мида, метод Хука-Дживса);

- градиентные методы, использующие значения первых производных целевой функции (метод градиентного спуска, метод наискорейшего спуска (метод Коши), метод сопряженных градиентов);

- градиентные методы второго порядка, использующие значения первых и вторых производных целевой функции (метод Ньютона, модифицированный метод Ньютона).

3) Задачи линейной оптимизации заключаются в определении оптимального (максимального или минимального) значения линейной целевой функции при линейных ограничениях.

,

, (3)

.

Здесь – варьируемые параметры модели.

К типовым задачам линейной оптимизации относятся задача определения производственного плана, задача технического контроля, транспортная задача, задача о диете.

Для решения задач линейного программирования используются геометрический (графический метод, симплексный метод, метод искусственного базиса, двойственный симплексный метод.

4) Задача дискретной оптимизации - задача оптимизации, в которой на варьируемые параметры наложено требование дискретности:

(4)

где – множество допустимых значений каждого параметра . При этом предполагается, что хотя бы один параметр может принимать дискретные значения.

Частными случаями задач дискретной оптимизации являются задачи целочисленной и булевой оптимизации. В задачах целочисленной оптимизации варьируемые параметры могут принимать только целочисленные значения. В задачах булевой оптимизации .

Наиболее распространенными прикладными модели дискретной оптимизации, использующимися при решении задач автоматизированного проектирования и управления являются задача о ранце, задача о назначениях, задача коммивояжера, задача о покрытии, задача о разбиении.

Для решения задач дискретной оптимизации могут использоваться метод отсечений Гомори, метод ветвей и границ.

5) Задача нелинейной оптимизации может быть в общем виде сформулирована следующим образом:

₍₅₎

где хотя бы одна из функций f(x), является нелинейной. Здесь – вектор варьируемых параметров. На переменные x_j также могут накладываться ограничения: , где и – нижняя и верхняя границы для каждой j-й переменной.

Методы решения задач нелинейного программирования различаются в зависимости от вида ограничений (рисунок ниже).

Методы решения нелинейных задач оптимизации