ФГБОУ ВПО “Воронежский государственный технический

университет”

Кафедра систем автоматизированного проектирования

и информационных систем

Программная реализация алгоритмов оптимизации методические указания

по выполнению курсовой работы по дисциплине

“Оптимизация в системах автоматизированного проектирования” для подготовки студентов по направлению 230100.62 «Информатика и вычислительная техника» (профиль «Системы автоматизированного проектирования») очной формы обучения

Воронеж 2015

Составители: д-р техн. наук, проф. Я.Е. Львович, канд. техн. наук Ю.В. Литвиненко

УДК 681.3

Программная реализация алгоритмов оптимизации: методические указания по выполнению курсовой работы по дисциплине “Оптимизация в системах автоматизированного проектирования” для подготовки студентов по направлению 230100.62 «Информатика и вычислительная техника» (профиль «Системы автоматизированного проектирования») очной формы обучения / ФГБОУ ВПО “Воронежский государственный технический университет”; сост. Я.Е. Львович, Ю.В. Литвиненко. Воронеж, 2015. 18 с.

Методические указания посвящены рассмотрению вопросов разработки алгоритмов оптимизации и их программной реализации.

Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS Word XP и содержатся в файле ОптимизацияКурсовая.doc.

Ил. 1. Библиогр.: 4 назв.

Рецензент канд. техн. наук, доц. Э.И. Воробьев

Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. Я.Е. Львович

Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

 ФГБОУ ВПО “Воронежский

государственный технический

университет”, 2015

Введение

В настоящее время одним из наиболее интенсивно используемых и наиболее важных инструментариев повышения эффективности управления и оптимизации сложных систем являются математические методы оптимизации. Успешному применению этих методов способствует современная вычислительная техника, интенсивное развитие которой стимулирует внедрение теоретических разработок в инженерную практику.

По содержанию задачи оптимизации весьма разнообразны. Они могут быть связаны с проектированием технических устройств и технологических процессов, с распределением ограниченных ресурсов и планированием работы предприятий и т.д. Это обусловливает актуальность изучения и практической реализации методов оптимизации.

Курсовая работа посвящена углубленному изучению теоретических и алгоритмических основ принятия оптимальных решений. Она заключается в построении и типизации математических оптимизационных моделей и разработке алгоритмического и программного обеспечения для решения различных классов задач оптимального выбора.

1. Постановка задачи оптимизации

В процессе проектирования сложных систем ставится обычно задача определения наилучших, в некотором смысле, структуры или значений параметров объектов. Такая задача называется оптимизационной. Если оптимизация связана с расчётом оптимальных значений параметров при заданной структуре объекта, то она называется параметрической оптимизацией. Задача выбора оптимальной структуры является структурной оптимизацией.

При решении задач автоматизированного проектирования техни­ческих устройств и технологических процессов разработчику при­ходится иметь дело с построением двух типов моделей проектируе­мого объекта:

- структурной, отражающей состав элементов объекта и их связи между собой;

- математической, описывающей с помощью математических по­нятий (чисел, матриц, множеств, отображений и т.д.) и отношений между ними количественные свойства объекта, существенные с точ­ки зрения решаемой задачи проектирования. В дальнейшем будем считать, что структурная модель проектируемого объекта задана.

Несмотря на всю сложность и разнообразие объектов проектиро­вания, процесс построения их математических моделей содержит следующие общие этапы:

- формализация задачи проектирования;

- анализ и выделение существенных свойств объекта,

- построение математического описания объекта, отражающего взаимосвязь значений существенных свойств друг с другом.

Исходной информацией при этом являются данные о назначе­нии, условиях применения и режимах функционирования проекти­руемого объекта задаваемые с помощью технического задания. Эти данные позволяют определить основную цель (задачу) проектиро­вания и формализовать технические требования, предъявляемые к объекту проектирования.

Предположим, что конкретный объект может быть охарактеризо­ван конечной совокупностью каких-то свойств, которые соответст­вуют целям проектирования и могут быть объективно измерены (или вычислены). При выделении существенных свойств необходи­мо пренебрегать теми свойствами, которые не влияют на решение поставленной задачи проектирования. Количественная оценка су­щественных свойств объекта, режимов его работы или внешней сре­ды, в которой он должен функционировать, осуществляется с по­мощью величин, называемых параметрами.

Различают внешние, внутренние и выходные параметры.

Внешние параметры — величины, характеризующие свойства внешней по отношению к объекту среды и оказывающие влияние на его функционирование. Обычно они считаются постоян­ными величинами (температура окружающей среды, внешнее дав­ление, напряжения источников питания т.д.). В том случае, когда внешние параметры не являются постоянными величинами, они на­зываются внешними переменными, например, приложенные к объ­екту извне силовые или кинематические воздействия, изменяющие­ся с течением времени. Обозначим внешние параметры вектором:

Внутренние параметры (проектные парамет­ры) — величины, характеризующие свойства отдельных элементов проектируемого объекта, определение значений которых является одной из целей проектирования. Обозначим их вектором:

Геометрической интерпретацией пространства внутренних пара­метров является n-мерное векторное пространство, в котором для каждого из п внутренних параметров х_i, выделена координатная ось.

В свою очередь, внутренние параметры подразделяются на элект­рофизические, топологические, электрические и режимные (кон­центрация примесей в подложке, коэффициент теплопроводности, модуль упругости, твердость, геометрические размеры, электриче­ское сопротивление резистора, емкость конденсатора, параметры транзисторов и т.д.).

Совокупность внешних и внутренних параметров называется входными параметрами.

Величины, характеризующие свойства объекта проектирования в целом, как системы, и определяющие степень выполнения объектом своего функционального назначения, называют выходными пара­метрами. Обозначим их вектором:

Выходные параметры можно только измерять (наблюдать или контролировать), но непосредственно изменять нельзя (мощность рассеяния, коэффициент усиления, расход топлива, КПД двигателя и т.д.).

Внутренние и выходные параметры определяют свойства проектируемого устройства (процесса) как объекта проектирования, а внешние параметры характеризуют внешнюю среду, в которой функционирует рассматриваемый объект.

Входные параметры играют роль независимых переменных, а выходные параметры являются зависимыми от них величинами. Соотношения, выражающие эти зависимости, будем называть математическим описанием объекта проектирования:

или в векторной форме

(1 )

Вид функциональных зависимостей (1) определяется структурной моделью объекта проектирования. В общем случае выражение (1) представляет собой отображение между двумя множествами параметров: , которое может быть получение с помощью одной из следующих математических моделей объекта проектирования:

- функциональной модели, представляющей собой систему уравнений, которая отображает физические или информационные процессы в объекте проектирования;

- аналитической модели, представляющей собой совокупность аналитических выражение и зависимостей входных и выходных параметров;

- алгоритмической модели, представляющей собой алгоритм вычисления выходных параметров по значению входных параметров;

- имитационной модели, частном случаю алгоритмической модели, отражающей поведение проектируемого объекта при заданных меняющихся во времени внешних параметрах.

В дальнейшем нас не будет интересовать вид математической модели, реализующей математической описание объекта проектирования (1). В связи с чем, будем рассматривать выражения (1) как «черный ящик», по численным значениям внешних параметров и внутренних параметров на входе которого получаются численные значения выходных параметров .

Решение задачи оптимизации начинается с формирования математической оптимизационной модели. Обобщенно такая модель может быть записана следующим образом:

(2)

Здесь – вектор варьируемых параметров объекта; f(X) – целевая функция, т. е. функция, характеризующая наиболее важные и существенные свойства объекта и являющаяся критерием оценки качества каждого из вариантов. Целевая функция в оптимизационной модели может стремиться к максимуму или к минимуму. Ее еще называют критерием оптимальности, критерием эффективности, показателем качества объекта и т. д. На основании вычисления значений целевой функции f(X) анализируются и сравниваются между собой различные варианты объектов.

В процессе оптимизации объект должен удовлетворять различным требованиям (конструктивным, техническим, экономическим), которые формализуются в виде системы ограничений. Ограничения на варьируемые параметры называют прямыми ограничениями. Здесь и – нижние и верхние допустимые значения для управляемого параметра , которые зависят от решаемой оптимизационной задачи.

Ограничения вида , называют функциональными ограничениями. Функциональные ограничения являются какими-либо функциями от варьируемых параметров и формулируются в виде системы равенств и неравенств.

Совокупность функциональных и прямых ограничений образует допустимую область или область допустимых решений D.

Таким образом, решение задачи оптимизации сводится к определению значений управляемых параметров , обеспечивающих оптимальное значение (максимум или минимум) целевой функции f(X) и удовлетворяющих системе ограничений. Такой вектор называется оптимальным решением.

Рассмотренная математическая оптимизационная модель является обобщенной и конкретизируется при решении практических задач оптимизации. При этом в зависимости от вида оптимизационной модели задачи оптимизации и методы их решения делятся на классы.