ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный

технический университет»

Кафедра физики твердого тела

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к выполнению практических работ по дисциплине «Физика твердого тела» для студентов направлений 16.03.01 «Техническая физика» (профиль «Физическая электроника»), 22.03.01 «Материаловедение и технология материалов» (профиль «Конструирование и производство изделий из композиционных материалов») очной формы обучения

Воронеж 2014

Составители: канд. физ.-мат. наук А.В. Калгин, д-р физ.–мат. наук Л.Н. Коротков, д-р физ.–мат. наук О.В. Стогней, канд. физ.-мат. наук Л.И. Янченко

УДК 539.21

Методические указания к выполнению практических работ по дисциплине «Физика твердого тела» для студентов направлений 16.03.01 «Техническая физика» (профиль «Физическая электроника»), 22.03.01 «Материаловедение и технология материалов» (профиль «Конструирование и производство изделий из композиционных материалов») очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. Л.И. Янченко. Воронеж, 2014. 26 с.

Методические указания содержат краткие теоретические и практические сведения в области физики твердого тела в соответствии с основными темами лекционного курса: полупроводниковые и диэлектрические материалы.

Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS Word 2003 и содержатся в файле Мет. практика.doc.

Ил. 5. Библиогр.: 1 назв.

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. В.А. Юрьев

Ответственный за выпуск зав. кафедрой

д-р физ.-мат. наук, проф. Ю.Е. Калинин

Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

Ó ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2014

1. Диэлектрики

1.1. К конденсатору приложено переменное напряжение по­стоянной амплитуды. Конденсатор заполнен полярным диэлектри­ком. Время релаксации τ при данной температуре известно.

Вывести выражение для тепловых потерь в зависимости от ча­стоты и показать, что максимальное значение ε^″ приходится на частоту ω_рел (ω_рел = 1/τ − частота релаксации), при которой потери составляют половину своего максимального значения.

Может показаться, что это удобный прямой метод определе­ния частоты релаксации ω_рел, но на самом деле для использова­ния на практике он не слишком хорош. Почему?

Решение. Тепловые потери в диэлектрике связаны с мнимой частью диэлектрической проницаемости. Для «хорошего» полярного ди­электрика

(1.1)

В общем случае значение тока, текущего через конденсатор, пропорционально ω(ε′ − jε^″). В данном случае среднее рассеяние энергии пропорционально ωε^″. Подставляя значение ε^″, находим, что величина потерь пропорциональна ω²τ/(1+ ω²τ²). Эта вели­чина растет, асимптотически достигая насыщения при ω → ∞. Нетрудно видеть, что при ω = 1/τ рассеяние энергии равно поло­вине величины потерь при ω → ∞.

Поскольку τ зависит от температуры, то эти результаты можно применять только тогда, когда температура образца поддержи­вается постоянной. Поэтому измерение тепловых потерь разных образцов надо проводить при одной и той же температуре.

1.2. Пусть в плазме при низком давлении концентрация сво­бодных электронов равна п. Показать, что частотная зависимость диэлектрической проницаемости плазмы описывается формулой

(1.2)

где f – частота электромагнитного поля (ω = 2π f).

Рассмотреть, как распространяется через эту плазму электро­магнитное излучение различных частот. С этим явлением весьма сходны явления в некоторых материалах, обладающих электро­проводностью. Применить полученный результат к металлическому натрию и сравнить с экспериментально наблюдаемыми значениями критическое значение частоты, при которой ε_r становится равной нулю.

Решение. В переменном электрическом поле Esinωt на электрон действует сила Esinωt,сообщающая ему ускорение. Уравнение движения электрона имеет вид

(1.3)

где x – величина смещения электрона из положения равновесия. Отсюда

(1.4)

Результирующая поляризация (электрический момент единицы объема) по определению равна (−eEsinωt/mω²)ne. Диэлектрическая восприимчивость (по определению) находится как отношение величины поляризации к напряженности поля, умноженной на ε₀:

(1.5)

следовательно, для диэлектрической проницаемости ε_r = 1+χ по­лучим

(1.6)

Допустим, что этот результат применим к металлу, например к натрию, у которого на каждый атом приходится по одному свободному электрону; подставляя значения п, т, е и ε₀, получим

Этот результат можно грубо интерпретировать следующим об­разом: при очень высоких частотах ε_r стремится к единице и ме­талл оказывается прозрачным для электромагнитного излучения, а при низких частотах ε_r будет отрицательной и распространение электромагнитных волн становится невозможным.

Критическая частота, отвечающая значению ε_r = 0, в данном случае соответствует длине волны около 1400 Å. Поскольку при­ближение было очень грубым, то не удивительно, что нет точного совпадения с наблюдаемой длиной волны, отвечающей краю по­глощения (~ 2000 Å).

1.3. а) Пусть производится измерение диэлектрической про­ницаемости воды, а затем той же воды после ее превращения в лед. Температура образца понижается от нескольких градусов выше 0 °С до нескольких градусов ниже 0 °С. Если при темпе­ратуре ниже 0 °С не принять необходимых предосторожностей, то можно получить совершенно противоречивые результаты. Вкратце объяснить, почему это так.

б) Пластины конденсатора сделаны из материала с высокой диэлектрической проницаемостью, толщина их 0,5 мм. К сожале­нию, обкладки прилегают не плотно и в некоторых местах между обкладками и диэлектриком есть зазоры толщиной порядка 1 мкм.

Определить количественно влияние этих зазоров на результи­рующую емкость, пробивное напряжение конденсатора и постоян­ную времени.

Объяснить качественно, как изменятся эти характеристики, если конденсатор сжать так, чтобы уменьшить ширину зазоров.

	Диэлектрический материал	Зазор
εr	1000	1
Пробивное напряжение, МВ/м	2,5	2,5
Проводимость, Ом-1м-1	10-6	0

Решение. а) Если не принять мер в момент, когда происходит за­мерзание, то в твердом теле могут образоваться поры. Диэлектри­ческие свойства пор обычно совсем не такие, как у твердого диэлектрика, поэтому значения диэлектрической проницаемости могут потерять смысл (межфазная поляризация).

б) Суммарная емкость рассматриваемого конденсатора есть, в сущности, емкость трех последовательно соединенных конден­саторов: два из них образованы зазорами у каждой обкладки, а третий – самим диэлектриком.

Непосредственное вычисление показывает, что в этом слу­чае эффективная диэлектрическая проницаемость может быть не более 200, т. е. составляет 1/5 от истинной для данного мате­риала. Если обкладки сжать, то эффективная диэлектрическая проницаемость увеличится до истинного значения, равного 1000; ситуация улучшится.

Электрическая индукция D = ε_rε₀E непрерывна при переходе через все три слоя, так что напряженность электрического поля в зазорах будет в 1000 раз больше, чем в диэлектрике. Пробив­ное напряжение для двух последовательно соединенных зазоров равно 5 В, что соответствует напряжению

в диэлектрике, равному 1,25 В. Суммарное пробивное напряжение всего конденсатора со­ставит всего 6,25 В.

Сравнивая этот результат с ожидаемым значением, равным 1,25 кВ, видим, насколько плохо обстоит дело. Довольно-таки неожиданно, что сжатие мало помогает, если не удастся ликви­дировать пористость.

Наличие конечной проводимости σ электрически эквивалентно сопротивлению R, подключенному параллельно данному материалу. Если у диэлектрика нет пор, то при площади конденсатора А и толщине d имеем:

С = ε_rε₀A/d (1.7)

и R = d/Aσ, (1.8)

откуда

τ = RC = ε_rε₀/σ, (1.9)

т.е. постоянная времени τ не зависит от геометрии конденсатора с диэлектриком.

Предположим, что эквивалентный контур имеет вид, изо­браженный на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Эквивалентный контур для конденсатора с

порами.

Нетрудно видеть, что в этом случае уже не существует универсальной постоянной времени

Действительно, рассмотрим конденсатор, соединенный с источ­ником напряжения, а затем отключенный; центральный конден­сатор С_d разряжается с постоянной времени RС_d, между тем как зазоры, в принципе, никогда не разрядятся.

1.4. Плоскопараллельный конденсатор заполнен изолирующим жидким диэлектриком. В диэлектрике неизбежно присутствуют частицы примеси, и это может привести к электрическому пробою.

а) Пусть малая сферическая частица примеси, обладающая электропроводностью, соприкасается с одной из пластин конден­сатора и захватывает заряд, достаточный для того, чтобы ее соб­ственный потенциал уравновесил потенциал электрода.

Показать, что время, которое потребуется для того, чтобы эта частица дошла до второй обкладки, обратно пропорционально квадрату приложенного напряжения и не зависит от размера частицы.

б) Пусть к одной из обкладок прилипло маленькое полусфе­рическое инородное тело с очень высокой диэлектрической про­ницаемостью.

Показать, что напряженность электрического поля в вершине полусферы примерно втрое больше, чем средняя напряженность в конденсаторе. Разобрать, какие практические затруднения воз­никнут, если присутствуют непроводящие примеси, и сопоставить приложенное напряжение со временем, которое должно пройти до пробоя.

Решение. а) Если радиус проводящей частицы r, то ее емкость

С = 4πε_rε₀r. (1.10)

Если частица заряжается от напряжения V, то заряд на ней

Q = 4πε_rε₀rV. (1.11)

В электрическом поле напряженностью Е на этот заряд действует сила, равная

F = EQ. (1.12)

Поэтому, если рас­стояние между электродами равно d, то

E = V/d, (1.13)

а сила, дейст­вующая на частицу, равна

F = 4πε_rε₀rV²/d. (1.14)

В равновесных условиях скорость частицы задается законом Стокса:

F = 6πηrυ, (1.15)

откуда

(1.16)

а время, требуемое для того, чтобы дойти до второй обкладки, будет равно

(1.17)

т.е. t не зависит от r. Здесь η – вязкость вещества.

б) Напряженность электрического поля в вершине полусферы можно найти методами теории потенциала, используя способ изображений. Распределение напряженности поля на рис. 1.2, а точно такое же, как и на верхней половине рис. 1.2, б.

Рис. 1.2. Распределение напряженности поля в

полусферической диэлектрической неоднородности на одном из электродов.

а) Истинная конфигурация, б) эквивалентная

конфигурация

Получается, что напряженность поля в вершине полусферы равна

где E₀ – напряженность однородного поля в точках, достаточно удаленных от места нарушения ε₂. Поскольку ε₂ >> ε₁, то напряженность поля в вершине этой полусферы фактически втрое больше, чем средняя напряженность поля в диэлектрике.

Любая непроводящая полярная примесь будет поляризоваться полем и на нее будет действовать результирующая сила PdivE, где P и E пропорциональны приложенному напряжению V.

Пробой происходит потому, что частицы примеси непрерывно движутся к этой полусфере, в конце концов прилипают к ней и постепенно образуют мостик между двумя обкладками. Время, необходимое для этого процесса, обратно пропорционально ско­рости частиц. Воспользовавшись снова законом Стокса, получаем, что пробой произойдет по истечении времени, пропорциональ­ного V^-2.

1.5. В идеально непроводящий кристалл введена примесь в количестве один примесный атом на каждые 10⁶ атомов основ­ного вещества. Каждый атом примеси вносит по одному носи­телю тока с зарядом, равным заряду электрона. Пусть число атомов основной решетки кристалла (на единицу объема) равно 10²⁸ м^-3. Установлено, что при частоте 1 МГц примесные носи­тели зарядов вносят в ε^″ вклад Δε^″ = 10.

Определить коэффициент диффузии примеси и проводимость вещества. Применить результат для грубой оценки величины ε^″ (при частоте 1 МГц) германия, обладающего собственной про­водимостью.

Решение. Предположим, что кристалл используется в качестве диэлектрика, помещенного между электродами. Пусть емкость системы электродов в вакууме равна С₀. Емкость С системы с диэлектриком тогда равна

С = ε_rС₀. (1.18)

Если приложено напряжение V, то для результирующего тока имеем

i_рез = jωCV = jω ε_rС₀V. (1.19)

Для расчета комплексной диэлектрической проницаемости нужно записать полный ток:

i_полн = jω(ε′ − jε^″) С₀V. (1.20)

В данном случае, очевидно, совпадающая по фазе компонента тока равна ωε^″С₀V. Безотносительно к геометрии конденсатора легко показать, что току, совпадающему по фазе с полем, отве­чает проводимость

σ = ωε^″ε₀, (1.21)

откуда в нашем случае получаем σ ≈ 5,5∙10^-4 Ом^-1м^-1.

Коэффициент диффузии D можно найти, воспользовавшись формулой Эйнштейна

D = kTμ/e (1.22)

и соотношением между подвижностью и проводимостью

σ = N_dμ_ne Ом^-1м^-1. (1.23)

В нашем случае при Т ≈ 300 °К получим D ≈ 9∙10^-9 м²∙c^-1.

Поскольку собственная проводимость германия имеет порядок 0,5 Ом^-1м^-1, то соответствующие значения ε^″ будут в 1000 раз больше, т. е. ε^″ ≈ 10 000.