2. Классификация вычислительных методов

Вычислительные методы можно разбить на следующие основные классы:

- методы эквивалентных преобразований;

- методы аппроксимации;

- прямые (точные) методы;

- итерационные методы.

Методы эквивалентных преобразований позволяют заменить исходную задачу другой, имеющей то же решение. Выполнение эквивалентных преобразований оказывается полезным, если новая задача проще исходной, обладает лучшими свойствами или для неё существует известный метод решения, а, может быть, и готовая программа.

Методы аппроксимации позволяют приблизить (аппроксимировать) исходную задачу другой, решение которой в определённом смысле близко к решению исходной задачи. Погрешность, возникающая при такой замене, называется погрешностью аппроксимации. Как правило, аппроксимирующая задача содержит некоторые параметры, позволяющие регулировать величину погрешности аппроксимации или воздействовать на другие свойства задачи. Принято говорить, что метод аппроксимации сходится, если погрешность аппроксимации стремится к нулю при стремлении параметров метода к некоторому предельному значению.

Одним из распространённых методов аппроксимации является дискретизация – приближённая замена исходной задачи конечномерной задачей, т.е. задачей, входные данные и искомое решение которой могут быть заданы конечным набором чисел. Для задач, которые не являются конечномерными, этот шаг необходим для последующей реализации на ЭВМ, так как вычислительная машина в состоянии оперировать лишь с конечным количеством чисел. При решении нелинейных задач широко используются различные методы линеаризации, состоящие в приближённой замене исходной задачи более простыми линейными задачами.

Прямые методы - методы, позволяющие получить решение после выполнения конечного числа арифметических действий (элементарных операций). Иногда прямые методы называют точными, подразумевая под этим, что при отсутствии ошибок во входных данных и при точном выполнении элементарных операций результат также будет точным. Однако при реализации метода на ЭВМ неизбежно появление вычислительной погрешности, величина которой зависит от чувствительности метода к ошибкам округления.

Итерационные методы – методы построения последовательных приближений к решению задачи. Применение метода начинают с выбора некоторого начального приближения. Для получения каждого из последующих приближений выполняют однотипный набор действий с использованием найденных ранее приближений – итерацию. Продолжение этого итерационного процесса позволяет построить последовательность приближений к решению – итерационную последовательность. Если эта последовательность сходится к решению задачи, то говорят, что итерационный метод сходится. Множество начальных приближений, для которых метод сходится, называется областью сходимости метода.

Итерационные методы по своей сути являются приближёнными: ни одно из получаемых приближений не является точным значением решения. Однако сходящийся итерационный метод даёт принципиальную возможность найти решение с любой заданной точностью . Поэтому, применяя итерационный метод, всегда задают требуемую точность и прерывают итерационный процесс, как только она достигается. Для практической оценки точности и завершения работы алгоритма используются различные критерии окончания итерационного процесса.

К вычислительным методам, наиболее часто использующимся в инженерных расчётах, относятся:

- методы решения задач линейной алгебры;

- методы решения нелинейных уравнений и систем;

- методы интерполяции и аппроксимации;

- численное дифференцирование и интегрирование;

- поиск экстремумов функций;

- решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем;

- решение дифференциальных уравнений в частных производных.