Векторное представление сигналов
Комплексную форму сигналов удобно отражать точками на плоскости — одна координата отражает действительную, вторая — мнимую часть. Тогда сложение сигналов станет сложением соответствующих сигналам векторов, а умножение — поворотом векторов на плоскости (с умножением их длин, равным модулям этих чисел; углы же, равные аргументам чисел, складывают).
Последовательное возведение комплексного числа в степень становится вращением выражающего это число вектора вокруг начала координат. Проекция данного вектора на одну из осей координат будет представлять нарастающие, затухающие или же с постоянной амплитудой колебания — в зависимости от того, больше ли единицы модуль данного комплексного числа, меньше или равен ей.
Итак, при векторном
представлении комплексный сигнал —
это вектор на комплексной плоскости с
действительной осью — осью абсцисс и
мнимой осью — осью ординат (рис. 5). Вектор
на плоскости вращается в положительном
направлении (против часовой стрелки)
со скоростью
.
Длина вектора равна модулю комплексного
сигнала, угол между вектором и осью
абсцисс — аргументу
.
Проекции вектора на оси координат равны
соответственно действительной и мнимой
частям комплексной величины. Заметим,
что на так называемой амплитудно-фазовой
плоскости — диаграмме (на одной оси
амплитуда, а на другой — фаза) сигнал
может быть представлен в виде точки,
соответствующей концу вектора. Такое
представление используют для описания
видов модуляции в модемах. Комплексная
форма представления сигналов подключает
пространственное воображение, расширяет
рамки анализа, упрощает математические
операции, проводимые с сигналами.
Векторное
представление сигналов базируется на
функциональном анализе — разделе
математики, объединяющем методы и
подходы топологии, классического анализа
и линейной алгебры, и позволяющим создать
стройную а
налитическую
теорию сигналов.
Рис. 5. Графическое представление комплексной формы сигнала
В геометрической
форме элемент U
в n-мерном
пространстве представляют в виде точки
или вектора с координатами
.
При такой интерпретации множеству
сигналов ставят в соответствие линейное
векторное пространство L.
Сигналы в этом пространстве изображают
векторами и операции с сигналами заменяют
операциями с векторами. Если число
членов множества n
стремится к бесконечности, то принято
говорить о бесконечномерном пространстве
L
[5].
Пространство L
называется нормированным, если введена
норма, т. е. расстояние между началом
координат и какой-либо точкой пространства.
Для вещественного и комплексного
сигналов, определяемых на временном
интервале
(часто удобнее интервал обозначать как
0-T),
норма соответственно запишется как:
(14)
где
— сигнал, комплексно-сопряженный сигналу
u(t).
Норма представляет геометрическую трактовку линейного пространства сигналов и по своему смыслу соответствует длине вектора сигнала. Нормированные пространства функций имеют важное значение для спектрального представления сигналов. Если сигнал является дискретным, то операцию интегрирования в (14) следует заменить операцией суммирования по всем отсчетам сигнала.
Еще одним фундаментальным понятием линейного пространства сигналов является метрика. Пространство сигналов называется метрическим, если введен способ определения метрики — расстояния d(u, v) между двумя его элементами (здесь сигналами), например u(t) и v(t). Метрика — неотрицательное число, которое независимо от способа задания должно удовлетворять ряду известных в математике аксиом (для упрощения не приводятся).
Обычно используют такую аналитическую запись метрики пространства:
(15)
Пространство функций с метрикой называют n-мерным евклидовым пространством. Если математические модели сигналов являются комплексными функциями, то приходим уже к комплексному линейному пространству.
Кроме нормы и метрики вводят скалярное произведение сигналов.
(16)
Скалярное произведение сигналов (функций) обладает рядом свойств:
;
;
,
где
—
вещественное число;
.
Полное линейное пространство с такими свойствами называют вещественным гильбертовым пространством Н (Давид Гильберт— David Hilbert; немецкий математик; 1862-1943).
При анализе комплексных сигналов можно определить комплексное гильбертово пространство, введя в нем скалярное произведение
(17)
такое, что .
Для скалярного произведения сигналов справедливо фундаментальное неравенство Коши-Буняковского-Шварца
(18)
Сигнал, описываемый выражением
(19)
есть n-мерный вектор линейного пространства (рис. 6).
Ортонормированная
(ортогональная и нормированная к 1)
система базисных функций
образует координатную систему в n-мерном
евклидовом пространстве (частном случае
гильбертового). Функции
представляют единичные векторы (орты,
откуда ортонормированный, нормированные
по длине к 1), коэффициенты
— проекции вектора сигнала u(t)
на оси координат. Координаты вектора —
скалярное произведение функций u(t)
и
(20)
Р
ис.
6. Векторное представление сигнала
Необходимо отметить, что путем поворота системы координат относительно ее начала можно получить бесчисленное множество различных координатных систем.
Замена координатной системы означает замену системы базисных функций, используемых при разложении реальных сигналов. Свойства же векторов, отражающие основные свойства радиотехнических сигналов, остаются неизменными, в том числе длины векторов, расстояния и углы между векторами.