Занятие 4. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.

Линейным называется уравнение вида

(1)

где и - заданные непрерывные функции или постоянные.

Решение уравнения (1) будем искать методом Бернулли. Сделаем замену

у = u (x) v (x). (2)

Одну из функций u (x) или v (x) можно взять произвольной, другая определится на основании уравнения (1). Дифференцируя обе части равенства (2), находим

.

Подставляя полученное выражение производной в уравнение (1), будем иметь

или . (3)

Выберем функцию v такой, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль . Разделяя переменные в полученном уравнении относительно v, находим . Интегрируя, получим , или .

Так как достаточно какого-нибудь отличного от нуля решения уравнения, то за функцию v(x) можно взять , где - какая-нибудь первообразная. Очевидно, что v (x)0. Подставляя найденное значение v (x) в уравнение (3), получим или , откуда . Подставляя u и v в формулу (2), окончательно получим

.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Пусть y=uv, тогда .

Подставляя выражение в исходное уравнение, получим

(4)

Для определения v получим уравнение , т.е.

, откуда или . Подставляя выражение функции v в уравнение (4) получаем для определения u уравнение , или , откуда . Следовательно, общий интеграл заданного уравнения будет иметь вид .

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию у(0) =1.

Решение. Положим y=uv, тогда .

. Определим v так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль. Тогда . Разделяя переменные, получим . Интегрируя уравнение, найдем или

Для определения u имеем уравнение

, ; .

Умножив u на v, получим общее решение .

Используя начальное условие у(0) =1, найдем 1= сos0 (sin0+C), откуда С=1. Искомое частное решение будет

.

Метод Бернулли можно использовать и при интегрировании уравнения Бернулли, которое имеет вид

, где .

Пример 3. Найти решение дифференциального уравнения .

Решение. Это уравнение Бернулли. Положим y=uv, тогда

;

Определим v так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль. Тогда , разделяя переменные, получим . Интегрируя уравнение, найдем или . Для определения u имеем уравнение

; ; ;

.

Окончательно получим .

Задачи для самостоятельного решения

1. Ответ:

2. Ответ:

3. Ответ:

4. Ответ:

5. Ответ:

6. Ответ:

7. Ответ:

8. Ответ:

9. Ответ:

10. Ответ:

11. Ответ:

Занятие 5. Уравнения, допускающие понижение порядка

1. Рассмотрим уравнение вида , которое не содержит явным образом искомой функции у.

Положим . Тогда .Подставляя эти выражения производных в исходное уравнение получим уравнение первого порядка

относительно неизвестной функции р от х. Проинтегрировав это уравнение, находим его общее решение р = р (х, С₁), а затем из соотношения получаем общий интеграл исходного уравнения .