- •Методические указания
- •Часть 4
- •Методические указания
- •Часть 4
- •Практические занятия
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Решение. Разделим переменные ;
- •Интегрируем обе части, полученного равенства
- •Возвращаясь к переменной у , получаем
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Разделяя переменные, получим
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Занятие 4. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.
- •Пример 1. Решить уравнение
- •Занятие 5. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •Пример 1. Найти частное решение уравнения
- •Разделяя переменные, находим
- •Следовательно, . Окончательно получим
- •Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка
- •Занятие 7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида Пусть имеем уравнение
- •Правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид
- •Правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид
- •Библиографический список
- •Занятие 7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида…………………………….30
- •Методические указания
- •Часть 4
- •Подписано к изданию 20.11.2013. Уч.- изд. Л. 2,6.
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Практические занятия
Занятие 1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях. Изоклины. Составление дифференциального уравнения семейства кривых
Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое содержит производные от искомой функции, искомую функцию и независимую переменную: .
Если искомая функция у =у(х) зависит только от одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением.
Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение называется порядком этого уравнения.
Всякая функция у =у(х), определенная и непрерывная в интервале (а, b) вместе со своими производными до порядка, равного порядку данного дифференциального уравнения, и обращающая это уравнение в тождество, справедливое при всех значениях х из интервала (а, b), называется решением этого уравнения в интервале (а, b). График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае можно записать в виде
или (1)
(2)
Уравнение (2) называют уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. Оно устанавливает связь (зависимость) между координатами точки (х, у) и угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно, дифференциальное уравнение (2) дает совокупность направлений (поле направлений) на плоскости Оxy . Таково геометрическое истолкование дифференциального уравнения первого порядка.
Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, называется изоклиной. Изоклинами можно пользоваться для приближенного построения интегральных кривых. Уравнение изоклины имеет вид f(x, y) = k, где k- постоянная. Чтобы приближенно построить решение уравнения (2), можно начертить достаточное количество изоклин, а затем провести решения, т.е. кривые, которые в точках пересечения с изоклинами f(x, y) = , f(x, y) = ,… имеют касательные с угловыми коэффициентами соответственно , ,…
Пример 1. С помощью изоклин начертить вид интегральных кривых уравнения .
Решение. Уравнение изоклин этого дифференциального уравнения будет , т.е. изоклинами здесь будут прямые, параллельные оси Оу
( ). В точках прямых проведем отрезки, образующие с осью Ох один и тот же угол α, тангенс которого равен k. Так, при с=0 х=0, , α= 0;
п ри с=1 х=1/2, , α= 45˚;
при с=-1 х=-1/2, ,
α= - 45˚;
при с= 2 х= 1, ,
α=arctg2 ≈ 63˚ и т.д.
Построив четыре изоклины и отметив на каждой из них ряд стрелочек, наклоненных к оси Ох под определенным углом (рис.1), по их направлениям строим линии. Они, как видно из рисунка, представляют собой семейство парабол.
Чтобы построить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют кривые семейства
, (3)
надо продифференцировать равенство (3) n раз, считая у функцией от х, а затем из полученных уравнений и уравнения (3) исключить произвольные постоянные .
Пример 2. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых (4)
Решение. Т.к. уравнение семейства содержит два параметра, дифференцируем его два раза, считая у =у(х):
(5)
(6)
Исключаем . Из уравнения (5) имеем ; подставляя в (4), получим
(7)
Исключаем . Из уравнения (6) имеем , подставляя в (7), получим
.
После упрощения получим дифференциальное уравнение .