Задания

I. Дана цепь. Выбрать в качестве координат состояния x₁ – ток в цепи, x₂ – напряжение на конденсаторе.

1. Записать уравнение, описывающее переходные процессы в цепи.

2. Записать математическую модель в переменных состояния (форма Коши)

3. Записать матричную форму полученного уравнения.

Переходные процессы в этой цепи описываются уравнением

Если в качестве координат состояния выбрать - ток в цепи и - напряжение на конденсаторе, то математическая модель процесса в цепи будет иметь вид:

Записать данную систему в матричной форме и записать матрицы внутренней моделей системы.

II. С помощью функции ss получите модель в переменных состояниях для систем, имеющих в разомкнутом состоянии следующие передаточные функции:

III. С помощью функций tf определите передаточные функции для систем, модели которых в передаточных состояниях представлены следующими матрицами

Лабораторная работа №3 Соединение звеньев lti-объекта

Обычно система регулирования состоит из ряда подсистем (звеньев, каждое из которых имеет свою входную и выходную величину) как-то: объект регулирования (обычно на SISO-схемах он обозначается как plant или G, датчики или сенсоры (H), регулятор (C), фильтры (F) и др. Каждая из этих подсистем описывается одним из четырех рас­смотренных выше типов. Для получения модели всей системы их нужно соединить между собой в соответствии с общей схемой. Для этой цели в CONTROL SYSTEM TOOLBOX предусмотрен ряд команд см. табл.3.1.

Таблица 3.1

Некоторые функции соединения звеньев

Приведем пример на параллельное соединение звеньев заданных в виде отношения двух полиномов (tf)

Команда series осуществляет последовательное соединение двух систем. Ее синтаксис

sys=series(sys1,sys2)

или sys=series(sys1,sys2,outputs1,inputs2)

В первом случае эта команда равносильна умножению систем: sys = sys1*sys2. Размерности выхода первой системы и входа второй должны быть одинаковы.

Вторая команда реализует более общий случай, когда часть вы­ходов первой системы и часть входов второй могут быть задейство­ваны отдельно (рис. 3.1). Тогда outputs1 — вектор номеров (индек­сов) выходов первой системы, которые должны быть подсоедине­ны к номерам (индексам) входов второй системы, указанным в векторе inputs2 (например, outputs1 = [1,2], inputs2 = [1 3], если вы­ходы 1 и 2 первой системы должны быть соединены со входами 1 и 3 второй системы). Размерности обоих векторов должны быть одинаковы.

Рис. 3.1. Пояснение к команде series

Примеры на использование команды series

Пусть дан объект управления задан передаточной функцией G(S)=1/500s², а регулятор имеет передаточную функцию G_c(S)=(s+1)/(s+2). На рис. 3.2 последовательное соединение двух систем с передаточными функциями G₁(S) и G₂(S), а так же проиллюстрирован смысл функции series, а на рис. 3.3. показано, как с ее помощью определяется произведение G(S) G_c(S). Результирующая функция имеет вид

,

где sys – обозначение LTI-объекта

Рис. 3.2. Структурная схема

Рис. 3.3. Функция series

Рис. 3.4. Применение функции series

Команда раrаllel осуществляет параллельное соединение двух систем. Ее синтаксис

sys=раrаllel(sys1,sys2)

или sys=parallel(sys1,sys2,inp1,inp2,out1,out2).

В первом случае эта команда равносильна сложению систем. Входы соединяются между собой и на них подаются одинаковые сигналы, а выходы суммируются. Во втором случае inp1 и inp2 - векторы, содержащие индексы входов первой и второй систем, соединяемых между собой, а out1 и out2 векторы, содержащие индексы выходов, которые суммируются друг с другом (рис. 3.5.).

Рис. 3.5. Пояснение к команде parallel.

Пусть, например, каждая система имеет по три входа и по четыре выхода, и мы хотим, чтобы на вход I первой системы и вход 2 второй подавался один и тот же сигнал, и то же самое относительно входов 2 и 3. Далее мы хотим, чтобы первые выходы систем суммировались друг с другом, и то же са­мое относительно вторых входов. Тогда команда запишется так:

sys=parallel(sys1,sys2, [1 2], [2 3], [1 2], [1 2])

Теперь рассмотрим синтаксис команды feedback реализующую обратную связь в системе. Выполним вначале пример организации обратной связи для звеньев заданных в виде отношения двух полиномов (tf)

По команде, общий вид которой

sys=feedback(sys1,sys2,feedin,feedout,sign)

строится система с sys1 в прямой связи и sys2 в обратной, причем знак обратной связи +1 или -I определяется полем sign. Без указа­ния знака система имеет отрицательную обратную связь см. рис. 3.6.

Рис.3.6. К команде feedback

Обе системы должны быть либо непрерывные, либо дискрет­ные с одинаковыми периодами квантования. Третье и четвертое поля команды используются в тех случаях, когда на регулятор подается только часть выходов первой системы, и для управле­ния (выход регулятора) также используется только часть входов объекта. Тогда feedout — вектор номеров (индексов) выходов объ­екта и feedin — вектор индексов входа объекта, участвующих в организации обратной связи. Размерность этих векторов должна быть равна размерностям входа и выхода регулятора соответст­венно. Часто встречаются случай, когда замкнутая система имеет единичную обратную связь (рис. 3.7).

Рис. 3.7. Система управления с единичной обратной связью

Рис. 3.8. Структурная схема

Рис. 3.9. Применение feedback в случае

единичной обратной связи

Рис. 3.10. Структурная схема

Рис. 3.11. Функция feedback

Пусть объект и регулятор имеют, соответственно, передаточные функции G(S) и H(S). Для определения передаточной функции замкнутой системы воспользуемся функцией feedback. В результате получим

Рис. 3.12. Структурная схема

Рис. 3.13.Скрипт MATLAB