Задачи для самостоятельного решения
1.
Вычислите поверхностный интеграл
второго рода
,
где
-
внешняя сторона поверхности тетраэдра,
ограниченного плоскостями
,
.
Ответ:
0.
2.
Вычислите поверхностный интеграл
второго рода
,
где
-
внешняя сторона поверхности полусферы
,
.
Ответ: 8
.
3.
С помощью формулы Остроградского
вычислить поверхностный интеграл
второго рода
,
где
поверхность
конуса
,
.
Ответ:
.
4.
С помощью формулы Остроградского
вычислить поверхностный интеграл
второго рода
,
где
поверхность
цилиндра
,
,
.
Ответ:
.
5. С помощью формулы Стокса найти интеграл
,
где
окружность
,
.
Ответ:
.
6. С помощью формулы Стокса найти интеграл
,
где
- эллипс
.
Ответ:
.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Данное пособие содержит краткий курс высшей математики по разделам: теория функции нескольких переменных, двойные и тройные интегралы, криволинейные интегралы второго рода, поверхностные интегралы второго рода, элементы теории поля. Приведение теоретических сведений сопровождается множеством практических задач, что делает пособие весьма полезным для студентов специальности 151002 «Металлообрабатывающие станки и комплексы».
Рассмотренный раздел высшей математики является базовым и входит в обязательный перечень тем, необходимый как для дальнейшего изучения высшей математики, так и для успешного освоения специальных дисциплин по специальности 151002 «Металлообрабатывающие станки и комплексы».
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. М.: Наука, 1985. Т .2.
2. Толстов Г.П. Элементы математического анализа. М.: Наука, 1974. Т.2.
3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1975.
4. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Харьков: ХГУ, 1973. Ч. 2.
5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для студентов втузов. М.: Высш. шк., 1996. Ч. 1.
6. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1981.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ………………………………………………. |
3 |
1. Функции нескольких переменных............................… |
4 |
1.1 Понятие функции двух переменных, Область определения.........….......................................................… |
4 |
1.2. Предел и непрерывность функции двух переменных................................................................................. |
6 |
1.3. Частные производные и частные дифференциалы первого порядка............................................................. |
9 |
1.4. Полное приращение функции и полный дифференциал............................................................................… |
11 |
1.5. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях......................................................... |
15 |
1.6. Частные производные сложной функции. Полная производная.................................................................. |
15 |
1.7 Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы полного дифференциала............................. |
19 |
1.8. Производная по направлению. Градиент............. |
19 |
1.9. Частные производные и дифференциалы высших порядков....................................................................... |
22 |
1.10. Дифференцирование функции, заданной неявно.......................................................................................... |
24 |
1.11.Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие............................................................... |
25 |
1.12.Достаточный признак экстремума...................... |
26 |
1.13.Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.............................................................. |
27 |
Вопросы для самопроверки.......................................... |
30 |
Задачи для самостоятельного решения...................... |
32 |
2. Двойной интеграл........................................................... |
34 |
2.1. Основные понятия и определения........................ |
34 |
2.2. Основные свойства двойного интеграла.............. |
36 |
2.3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах......................................................................... |
37 |
2.4. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах......................................................................... |
41 |
2.5. Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла............................................................................. |
45 |
2.6. Вычисление площадей плоских фигур................ |
47 |
2.7. Вычисление площадей поверхностей.................. |
49 |
2.8. Моменты инерции плоских фигур....................... |
51 |
Вопросы для самопроверки.......................................... |
53 |
Задачи для самостоятельного решения...................... |
54 |
3. Тройной интеграл............................................................ |
55 |
3.1. Задача, приводящая к понятию тройного интеграла................................................................................................. |
55 |
3.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах......................................................................... |
56 |
3.3. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах........................................................ |
59 |
3.4. Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла............................................................................... |
65 |
3.5. Приложение тройного интеграла к вычислению массы тела................................................................... |
66 |
Вопросы для самопроверки.......................................... |
68 |
Задачи для самостоятельного решения..................... |
69 |
4. Криволинейныйи нтеграл второго рода........................ |
70 |
4.1. Основные понятия.................................................. |
70 |
4.2. Вычисление криволинейного интеграла второго рода...................................................................................... |
72 |
4.3. Формула Грина....................................................... |
75 |
4.4.Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.................... |
77 |
Вопросы для самопроверки.......................................... |
83 |
Задачи для самостоятельного решения...................... |
84 |
5. Поверхностный интеграл II рода................................... |
86 |
5.1. Основные понятия.................................................. |
86 |
5.2. Вычисление поверхностного интеграла II рода.. |
90 |
5.3. Формула Остроградського-Гаусса........................ |
93 |
5.4. Формула Стокса...................................................... |
96 |
5.5. Векторная запись формулы Стокса. Ротор вектора....................................................................................... |
101 |
5.6. Потенциальные векторне поля. Нахождение потенциала............................................................................... |
102 |
5.7. Оператор Гамильтона. Векторне операции второго порядка......................................................................... |
104 |
Вопросы для самопроверки.......................................... |
107 |
Задачи для самостоятельного решения...................... |
108 |
Заключение.......................................................................... |
109 |
Библиографический список............................................... |
110 |
Оглавление........................................................................... |
111 |
Учебное издание
Горбунов Валерий Викторович
Соколова Ольга Анатольевна