- •Часть 4
- •1.Функции нескольких переменных
- •1.1. Понятие функции двух переменных. Область определения
- •1.2. Предел и непрерывность функции двух переменных
- •1.3. Частные производные и частные дифференциалы первого порядка
- •1.4. Полное приращение функции и полный дифференциал
- •1.5. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях первого порядка
- •1.6. Частные производные сложной функции. Полная производная
- •1.7. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала
- •1.8. Производная по направлению. Градиент
- •1.9. Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •1.10. Дифференцирование функций, заданных неявно
- •1.11. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие
- •1.12. Достаточный признак экстремума
- •1.13. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области
- •Вопросы для самопроверки
- •2. Двойной интеграл
- •2.1. Основные понятия и определения
- •2.2. Основные свойства двойного интеграла
- •2.3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •2.4. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •2.5. Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла
- •2.6. Вычисление площадей плоских фигур
- •2.7. Вычисление площадей поверхностей
- •2.8. Моменты инерции плоской фигуры
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3. Тройной интеграл
- •3.1 Задача, приводящая к понятию тройного интеграла
- •3.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •3.3. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах
- •3.4. Вычисление объема тела с помощью тройного интеграла
- •3.5. Приложение тройного интеграла для вычисления массы тела
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.1. Основные понятия
- •4.2. Вычисление криволинейного интеграла II рода
- •4.3. Формула Грина
- •4.4. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5. Поверхностный интеграл II рода
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Вычисление поверхностного интеграла II рода
- •5.3. Формула Остроградского-Гаусса
- •5.4. Формула Стокса
- •5.5. Векторная запись формулы Стокса. Ротор вектора
- •5.6. Потенциальные векторные поля. Нахождение потенциала
- •5.7. Оператор Гамильтона. Векторные операции второго порядка
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Начала математического анализа
- •Часть 4
- •Подписано к изданию 02.05.06.
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
1.2. Предел и непрерывность функции двух переменных
Определение функции двух переменных требует введение определения - окрестности точки М. - окрестностью точки M0 (х0,у0) называется внутренняя часть круга радиуса с центром в точке M0 (х0,у0) или множество точек M (х,у), удовлетворяющих неравенству .
Число А называется пределом функции двух переменных f(х, у) при х х0, у у0 , если для любого сколь угодно малого положительного найдется такое > 0, что для всех точек - окрестности точки М0(х0,у0) выполняется неравенство
< .
Согласно определению, предел А не зависит от способа приближения точки М к точке М0. В этом случае пишут:
, .
Остаются в силе все теоремы о пределе функции и правила вычисления.
При вычислении предела функции двух переменных вычисляется предел функции f (х, у) по всем возможным прямым, проходящим через точку М0 (при М М0), если все эти пределы равны числу А, то .
Пример 1. Найти .
Решение: Пусть точка М стремится к точке М0 по прямой y=kx. Тогда
0.
Значение предела не зависит от k , поэтому А=0.
Пример 2. Найти .
Решение:
.
Для различных k получаем различные значения предела, что и означает, что в точке О (0,0) функция предела не имеет.
По аналогии с функцией одной переменной функция f(х,у) называется бесконечно малой, если .
Функция f (х,у) называется непрерывной в точке М0(х0,у0), если .
Для выполнения условия непрерывности необходимо, чтобы:
1) функция f (х, у) была определена в точке М0(х0, у0);
2) существовал предел ;
3) f (М0) = А.
Функция f (х, у) называется непрерывной в области, если она непрерывна в каждой точке этой области.
Точка М(х,у) называется точкой разрыва функции f(х,у), если функция либо не определена в самой точке, либо не существует предел , либо предел существует, но не равен значению функции в данной точке. Например, функция имеет точку разрыва М0(0,0).
Определение непрерывности функции нескольких переменных f (x,y) совершенно аналогично определению непрерывности функции одной переменной. Поэтому все свойства, установленные для непрерывных функций одной переменной, остаются в силе для непрерывных функций нескольких переменных:
1.Все элементарные функции нескольких переменных непрерывны в области определения.
2. Если функция f (x,y) непрерывна в замкнутой области , то она ограничена в ней (достигает наибольшего и наименьшего значения).
3. Непрерывная в области D функция, непрерывно переходя от одного своего значения к другому, проходит через каждое промежуточное значение.
Заметим, что непрерывность функции f (х,у) по совокупности аргументов не сводится к непрерывности по каждому аргументу в отдельности. В примере 2 функция по каждому из аргументов в отдельности непрерывна. Например, если М М0 по оси Ох (у=0), то z 0 и . Аналогично, при стремлении М М0 по оси Оу (х= 0) z 0 и .
1.3. Частные производные и частные дифференциалы первого порядка
Пусть функция z =f (х, у) определена и непрерывна в точке М0(х0, у0) и ее некоторой окрестности. Зафиксируем значение у = у0, а переменная х пусть испытает приращение х. При этом переместимся из точки в точку . Получим функцию одной переменной z =f (х, у0). Разность
называется частным приращением функции z по переменной х.
Частной производной функции z по переменной х в точке М0 (х0, у0) называется предел отношения при х0
= = = .
В определении частной производной не все координаты равноправны: переменная у фиксирована, а х изменяется.
При перемещении из точки М0(х0,у0) в точку М2(х0,у0+у) получим частное приращение функции z по переменной
.
Частной производной функции z по переменной в точке М0 (х0, у0) называется предел отношения при 0
= = = = .
Частные производные и характеризуют мгновенную скорость изменения функции z в точке М0 (х0, у0) в направлении координатных осей Ох и Оу.
При вычислении частных производных остаются в силе правила дифференцирования функции одной переменной, а также таблица производных, если другие аргументы считаются постоянными величинами.
Пример 3. Найти частные производные функции .
Решение: = , = Здесь при нахождении переменная считается константой, при нахождении переменная считается константой.
Пример 4. Найти частные производные функции .
Решение:
.
Рассмотрим геометрический смысл частных производных функции двух переменных. Пусть уравнение z =f(х, у) есть уравнение поверхности, изображенной на рис. 2.
Проведем плоскость х= х0 . В сечении этой плоскостью поверхности получается линия L2. При данном х0 рассмотрим на плоскости точку М0. На поверхности ей соответствует точка Р. Частная производная равна тангенсу угла, образованного касательной к кривой L2 в точке М с положительным направлением оси Оу:
.
Для уточнения стоит отметить, что касательная лежит в плоскости х= х0
По аналогии частная производная численно равна тангенсу угла наклона касательной к линии , представляющей сечение поверхности плоскостью у=у0, т.е. .