4.4. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования

Пусть и – две произвольные точки односвязной области D плоскости. Оху (область D называется односвязной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит D (область без «дыр»)). Точки A и В (рис. 27) можно соединить различными линиями, например, L₁, L₂ и L₃.

Если по каждой из этих кривых интеграл

имеет одинаковые значения, то говорят, что интеграл I не зависит от пути интегрирования. В этом случае значение интеграла I зависит от начальной точки и конечной точки пути, что отражается при записи:

Рассмотрим условия, при которых криволинейный интеграл II рода не зависел от пути интегрирования?

Теорема. Для того чтобы криволинейный интеграл не зависел от пути интегрирования в односвязной области D, в которой функции P(x,y), Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой области выполнялось условие

.

Доказательство. Рассмотрим произвольный замкнутый контур AmBnA (или L) в области D (рис. 28). Для него имеет место формула Грина

.

В силу условия имеем: или

Учитывая свойства криволинейного интеграла, имеем:

то есть

Полученное равенство означает, что криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, что если выполняется условие .

Верно и обратное утверждение.

Если выполнено условие , то подынтегральное выражение P(x; y)dx +Q(x; y)dy является полным дифференциалом некоторой функции u=u(х,у):

P(x,y)dx +Q(x,y)dy=dU(x,y)

Тогда:

,

то есть

.

Полученная формула называется обобщенной формулой Ньютона – Лейбница для криволинейного интеграла от полного дифференциала.

Таким образом, если подынтегральное выражение Pdx+Qdy есть полный дифференциал и контур интегрирования L замкнутый, то

Следует отметить, что функцию U = U(x,y), удовлетворяющую условию , можно найти, используя формулу

В качестве начальной точки (х₀; у₀) обычно берут точку О(0;0).

Пример 35. Найти

Решение: Здесь P = y, Q = x, Согласно вышеприведенной теореме, интеграл не зависит от пути интегрирования. В качестве пути интегрирования можно взять отрезок прямой у = х, дугу параболы у=x³ и т. д. или воспользоваться формулой . Так как ydx+xdy =d(xy), то

Пример 36. Убедиться, что выражение

представляет собой полный дифференциал некоторой функции U(x; у) и найти ее.

Решение: Для того чтобы указанное выражение являлось полным дифференциалом, необходимо выполнение условий :

.

Отсюда следует, что =

Воспользовавшись формулой

имеем:

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение криволинейного интеграла второго рода.

2. Сформулируйте теорему о существовании криволинейного интеграла второго рода.

3. Что изменится, если в криволинейном интеграле поменять местами начало и конец контура интегрирования?

4. Перечислите свойства криволинейного интеграла второго рода.

5. Напишите формулу для вычисления криволинейного интеграла второго рода в случае параметрического задания контура.

6. Что связывает формула Грина?

7. Каким образом определяется положительное направление обхода замкнутого контура?

8. Напишите формулу Грина.

9. Какая область называется односвязной?

10. Докажите теорему о независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.

11. Когда можно использовать обобщенную формулу Ньютона-Лейбница для криволинейного интеграла?

12. Как находится функция с помощью интегрирования?