3.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

В декартовых координатах вычисление тройного интеграла сводится к вычислению трехкратного интеграла, т.е. последовательному вычислению трех определенных интегралов.

Пусть областью интегрирования V является тело, ограниченное снизу поверхностью , сверху - поверхностью , причем (z₁(x; y) ≤ z₂(x; y)). Область является проекцией тела на плоскость Оху (рис. 15)

Область V называется правильной в направлении оси Oz, если любая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области не более чем в двух точках. Тогда для любой непрерывной в области V функции f(х,у,z) имеет место формула

.

Данная формула сводит вычисление тройного интеграла к вычислению двойного интеграла от однократного интеграла. Вычисление начинается с внутреннего интеграла по переменной z при постоянных х и у. Нижним пределом внутреннего интеграла является аппликата точки А точки входа прямой, параллельной оси Oz в область V, т. е. . Верхней границей является аппликата точки В - точки выхода прямой из области V, т.е. . Если граница области D (рис. 16) определена неравенствами

где и - непрерывные на отрезке [а,b] функции,

то, получаем формулу

.

Стоит отметить, что порядок интегрирования в трехкратном интеграле может быть изменен, если область определяется как правильная относительно оси .

Пример 24. Вычислить где ограничена плоскостями (рис. 17).

Решение: Область является правильной в направлении оси Oz, а ее проекция на плоскость Оху является правильной в направлении оси Оу. По формуле перехода к трехкратному интегралу имеем:

3.3. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах

Замена переменных в тройном интеграле производится с помощью якобиана преобразования

.

Пусть совершена подстановка x =φ(u;v;w), y=ψ(u;v;w), z=χ(u;v;w).

Если эти функции имеют в некоторой области V* пространства Ouvw непрерывные частные производные и отличный от нуля определитель , то справедлива формула замены переменных в тройном интеграле

Для вычисления тройного интеграла часто используют так называемые цилиндрические координаты (рис. 18).

Положение точки М(х,у,z) в цилиндрических координатах определяется заданием трех чисел r, φ, z, где r –полярный радиус, т.е. длина радиуса-вектора проекции точки М на

плоскость Оху , φ – полярный угол, образованный этим радиусом - вектором с осью Ox , z - аппликата точки М .

Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами следующими соотношениям0:

Якобиан преобразования равен

Формула замены переменных принимает вид

К цилиндрическим координатам бывает удобно перейти в случае, если область интегрирования описывается в цилиндрических координатах более простым образом, а подынтегральная функция упрощается.

Пример 25. Вычислить , где V - область, ограниченная верхней частью конуса и плоскостью .

Решение: На рис. 19 изображена область . Уравнение конуса принимает вид , т. е. . Уравнение границы области D х² + у² = 1 запишется так: r = 1. Используем равенство .

Прямая, параллельная оси Oz, входит в область D при z = r и выходит из нее при z = 1.

Согласно формуле перехода к трехкратному интегралу получаем:

Пример 26. Вычислить тройной интеграл где область , ограничена поверхностями: .

Решение: Запишем уравнение параболоида в цилиндрических координатах, используя уравнения связи , :

или .

Область описывается неравенствами ,

, .

Сферическими координатами точки M(x,y,z) пространства Oxyz называется тройка чисел ρ, φ, θ, где ρ - длина радиуса - вектора точки М , φ - угол, образованный проекцией радиуса - вектора на плоскость Оху и осью Ох , θ - угол отклонения радиуса-вектора от оси Oz (рис. 20).

Сферические координаты ρ, φ, θ связаны с декартовыми x, y, z соотношениями:

Якобиан преобразования при переходе к сферическим координатам равен

=

= +

+ =

= +

+ =

=

Тройной интеграл в сферических координатах имеет вид

Пример 27. Вычислить тройной интеграл

где V – шар x² + y² + z² ≤ 1.

Решение: Используя якобиан преобразования, имеем

Граница области V - сфера и ее уравнение в сферических координатах имеет вид ρ = 1. Подынтегральная функция после замены переменных примет вид Согласно формуле тройного интеграла в сферических координатах имеем