2.4. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Пусть в полярной системе координат задана функция z=f(r,φ) в области D, ограниченной линиями:

,

Разобьем область D на n элементарных площадок (Рис 9) с площадями . Внутри каждой площадки выберем точку . Составим интегральную сумму для функции z=f(r,φ) в области D:

.

Рассмотрим предел полученной интегральной суммы, когда число разбиений неограниченно возрастает. Если этот предел существует, т.е. не зависит от способа разбиения области D на n частей и выбора внутренних точек , то предел называется двойным интегралом функции f(r,φ) по области D

Для вычисления полученного интеграла найдем выражение дифференциала площади . Дифференциал соответствует приращению площади, возникающему вследствие приращения полярных координат и . Площадь фигуры, ограниченной лучами, выходящими из полюса под углами и , а также дугами окружностей радиусов и , может быть вычислена как разность площадей двух круговых секторов

.

Пренебрегая вторым слагаемым как бесконечно малой величиной более высокого порядка малости, для дифференциала площади получим:

.

Двойной интеграл в полярных координатах приобретает вид:

.

Полученный двойной интеграл вычисляется с помощью соответствующего ему двукратного интеграла

Для перехода в двойном интеграле к полярным координатам. можно также произвести замену переменных. Переход от переменных и к полярным переменным r и φ осуществляется с помощью определителя Якоби или якобиана :

.

В этом случае справедлива формула:

Переменные х и у определяются как функции переменных r и φ: x = , y = . Якобиан преобразования равен

.

Формула замены переменных в двойном интеграле принимает вид:

. (1.3)

Переход к двукратному интегралу

предполагает возможность описания границ области D посредством уравнений ,

Внутреннее интегрирование производится при постоянном φ.

Пример 17. Вычислить , где область D – круг x² + y² ≤ 9.

Р ешение: Перейдем к полярным координатам: Область D в полярной системе координат определяется неравенствами (рис. 10) 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 3. Переходя к двукратному интегралу по соответствующей формуле, имеем

2.5. Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла

Объем цилиндрического тела, ограниченного боковой цилиндрической поверхностью, поверхностью z = f(x; у) и областью D плоскости xOy находится по формуле

.

Пример 18. Найти объем тела, ограниченного поверхностями , , , , .

Решение: Область , на которую проецируется цилиндроид, изображена на рис. 11.

Объему тела соответствует двойной интеграл

.

Область D может быть описана как правильная относительно оси , что позволяет перейти к двукратному интегралу вида

Пример 19. Найти объем тела, ограниченного поверхностями и .

Решение: Данное тело ограничено сверху и снизу параболоидами, как показано на рис. 12.

Боковая цилиндрическая поверхность выродилась в пространственную линию. Решая систему уравнений

находим уравнения вышеуказанной линии: , z = 2.

Объем тела равен разности объемов двух цилиндрических тел с областью в основании и ограниченных сверху поверхностями и Область определяется неравенством .

Учитывая вышесказанное, имеем

Переходя к полярным координатам, находим: