3. Вынужденноепоглощение

Внешний квант может взаимодействовать не только с возбужденнойчастицей,ноичастицей,находящейсянанижнемэнергетическомуровне.В

результате вынужденного поглощения квант с энергиейhν =W₂–W₁захва-тывается невозбужденной частицей (А), которая переходит после этого в воз-бужденноесостояниеА*(рис.1.18).Дляописанияиндуцированногопогло-

щения Эйнштейн ввел коэффициентВ₁₂. По Эйнштейну, вероятность инду-цированного поглощения частицы (количество индуцированных квантов, по-глощаемых частицей в единицу времени), как и вероятность индуцированно-гоизлучения,пропорциональнаобъемнойспектральнойплотностиэнергии

F¹Вw [c^–1].Тогдаколичествоактовиндуцированногопоглощенияв

п ₁₂ 

единицеобъемасистемысконцентрациейчастицвнижнемэнергетическом

состоянииn

(А)определитсякак

_dn1

nB

w[м^{–3· с–1}].





₁ _dtп

W

112 ^

W₂

hν=W_2–W₁

A^{* W}

W₂

^{А W1 W}₁

Рис.1.18.Процессвынужденногопоглощения

Соответственно,частицы,находящиесянанижнемэнергетическомуровне системы объемомV(в состоянииА), поглощают мощностьP_пVn₁B₁₂w_hν.

4. СвязьмеждукоэффициентамиЭйнштейна

Процессыизлученияипоглощенияквантоввсистемеизменяюткон-центрациичастицнаэнергетическихуровняхи,следовательно,влияютдруг

надруга.ДляустановлениясвязимеждувведеннымикоэффициентамиА₂₁,

В_21иВ_{12Эйнштейн}рассматривалпростейшуюдвухуровневую систему,находящуюсявтермодинамическомравновесии(ТДР)сокружающейсре-

дой.ПриТДРдляконцентрацийчастицнаэнергетическихуровняхW_iспра-ведливораспределение Больцмана

n_ig_in₀e

• W_i

kT_,

гдеg_i– коэффициент вырождения – целое число, показывающее какое коли-чество энергетических уровней с одинаковой энергией, но разными наборамиквантовых чисел(n,m l,s)может находиться в системе. В условиях ТДРтемпература средыТ= const, а подводимаяи отводимая энергии равны. Ес-ли говорить об излучающей системе, то в равновесном состоянии концентра-циичастицнаэнергетическихуровняхдолжныбытьнеизменнывовремени:

n₁,n₂₌const(t).Этоусловиетребует,чтобыскоростиизмененияконцентра-

циибылинулевыми:

dn_idt

0.Следовательно,приТДРвизлучающейсисте-

меоптическиепереходысверхувниз(2→1)должныуравновешиватьсяпе-

реходами снизу вверх (1 → 2). Иными словами, излучение квантов должноуравновешиваться их поглощением:Р_сп+Р_инд=Р_п. Воспользовавшись вы-ражениямидлямощностейиз 1.3.1–1.3.3исокративобщиесомножители, для

равновеснойизлучающейсистемыполучим:

сюдадляспектральнойплотностиэнергии

n_2А21n₂В₂₁w_n₁B₁₂w_.От-

w_

ⁿ2^А21 _

ⁿ1^В12^n2^В21

n_1В

^А21 _

• В _g

^А21

h

. (1.1)

_n2 12

21 _1В12ekT

g₂

В₂₁

Последняядробьв(1.1)полученасучетомсоотношениядляконцен-

трацийчастиц:

n_1

n₂

g_1e

g₂

W_2W₁

kT

h

^g1ekT.Еслипредположитьдалее,чтов

g₂

условияхТДРТ→∞,тоиуровеньизлучениядолженбесконечновозрастать,

аследовательно,иw_ν→∞.Ввыражении(1.1)числительА₂₁₌1/t_2–конеч-

h

наявеличина,

e^kT1

при

Т.Тогдадлявыполненияусловияω_ν→∞

требуется,чтобыВ₁₂g₁/g₂₌В₂₁,откудаполучаетсяпервоесоотношениедлякоэффициентовЭйнштейна:

g₁В_12g₂В₂₁. (1.2)

Напрактикенаиболеечастореализуетсяусловие g₁₌g₂₌1и (1.2)трансформируетсяк видуB₁₂₌B₂₁.

ДляустановлениясвязимеждукоэффициентамиЭйнштейнадляопти-

ческихпроцессовспонтанногоииндуцированногоизлучениявоспользуемся(1.1)и (1.2),полагаяB₁₂₌B₂₁:

^wg_1g₂^

^А21

_h

_. (1.3)

B ^e^kT

21_ ¹_

 

 

Из (1.3) можно установить связь междуА₂₁иB₂₁, если каким-либо об-разом выразитьчерез параметры излучающей системы. Эйнштейн восполь-зовался известным к тому времени выражением для плотности мощности из-лучениянагретоготела. Вусловиях ТДРоптическоеизлучениеидеального

(абсолютночерного)нагретоготеласвысокойточностьюописываетсяфор-мулойПланка:

_2h

_1

I

_{0 2}c

T _5

^h_ekT









1_ ,





I

где

⁰ –спектральнаяплотностьмощностивмасштабедлиныволныдля

T

абсолютночерного тела(АЧТ).

I

T

и

Можнонайтисвязьмежду ⁰

0. T

   w

   , используясоотношения между

спектральнымиплотностямимощностииэнергиидляненаправленногопо-

тока:I_λ|_n=1=

0. cw_,атакжемеждуспектральнымиплотностями мощностив

4

масштабахдлиныволныичастоты

I ^2Ic



.Дляобъемнойспектральной



плотностиэнергииАЧТвмасштабечастотыможно записать

4I⁰

4I^02

_h _



_w⁰ _ T_ T _^8h_ekT

^. (1.4)



T _с

_{с2 3} ¹

 

Сравнив(1.3)и(1.4),получим:

^{А218h.} (1.5)

^В21 ^3

Выражение (1.5) называют вторым соотношением между коэффициен-тами Эйнштейна. Соотношения между коэффициентами Эйнштейна, несмот-рянакажущуюсяпростоту,являютсябазовымидляквантовойэлектроники.