4. ДифференциальныеиинтегральныекоэффициентыЭйнштейна

Функцияспектральнойплотностимощностилюбойоднородноилине-однородноуширеннойлинииизлученияполностьюописываетсясоответ-

ствующимформ-факторомиамплитудойI_0линии

I_g()I_0.Система,со-

держащая множество частиц, по-разному излучает на разных частотах, сле-довательно, количество переходов (вероятности излучения по Эйнштейну) наэтих частотах различны. Тогда коэффициент, характеризующий спонтанноеизлучениечастицы,долженбытьразличнымдляотличающихсячастот,т.е.

частотно-зависимым:

А₂₁()

f()F_с^_п().Коэффициент

А₂₁()

называют

дифференциальнымкоэффициентомЭйнштейнадляспонтанногоизлучения

частицы.Ноеслиспонтанноеизлучение–частотно-зависимыйпроцесс, аспектральнаялинияописываетсяформ-фактором g(ν),тодолжновыпол-

нятьсясоотношение А₂₁()gA₂₁.Общееколичествоспонтанныхпере-

ходовчастицыизвестно:

1

А

F

сп ₂₁

^1,ионодолжноравнятьсясуммарно-

t

2

му,интегральномуколичествупереходовнавсехчастотахвпределахспек-тральнойлинии:

F¹ А()d

g()AdА

gdA

, (1.12)

^сп ₂₁

^ 21

21^ 21

гдеА₂₁(ν),А_21– дифференциальныйиинтегральныйкоэффициентыЭйн-штейнадля спонтанногоизлучения.

Из(1.12)вытекаеттакназываемоеусловиенормировки:

_g()d1.

Итак,спонтанноеизлучение–частотно-зависимыйпроцесс.Носпон-танные и индуцированные процессы взаимно обусловлены. И если

А₂₁()

f(),тоикоэффициентыЭйнштейнадляиндуцированногоизлуче-

ния и вынужденного поглощения должны быть функциями частоты.Дляпроизвольной фиксированной частоты количество излучательных индуциро-ванныхпереходовчастицывединицувремениможетбытьнайденокак

B₂₁()

f()gB₂₁,гдеВ₂₁(ν),В_21–дифференциальныйиинтегральный

коэффициентыЭйнштейнадляиндуцированногоизлучения.Аналогичнодля

вынужденногопоглощенияможнозаписать: B₁₂₍)gB_12.Изизложен-

ногоследуетважныйвывод:формыспектральныхлинийизлученияипо-глощенияодинаковы.

2.Усилениеоптическогоизлучения

1. Прохождениеоптическогоизлучениячерезвещество

Рассмотрим однородную оптическую среду, параметры которой неиз-менны во времени и пространстве.Предположим, что среда идеально про-зрачная, и ее показатель поглощения χ_п= 0 [м^–1]. Пусть эта средапротяжен-ностьюLисечениемdSпронизываетсявдольосиzпотокомквантовсчасто-

той ν и спектральной плотностью мощностиI_ν(рис. 2.1). Приz= 0 падающийначальный потокP₀=I_νdS=I₀dS, приz=Lвыходной поток определяется ве-личинойP_L=I_LdS.

y

dS

Падающий

I_ν+dI_ν

I_ν

I₀

^поток I_L

0 z

dz dV=dzdS

x

Рис.2.1.Распространениеизлучениявслоевещества

Оценим изменение мощности ΔР_νпадающего излучения при прохож-дениислоя вещества толщинойdz. Спонтанное и индуцированное излученияувеличиваютпотокквантов,вынужденноепоглощение–уменьшает.Суче-

томэтогоΔР_ν=Р_сп(ν)+Р_инд(ν) –Р_п(ν)=n₂dVg(ν)A₂₁hν+n₂dVg(ν)B_21wνhν –

–n₁dVg(ν)B₁₂w_νhν,где объемdV=dS dz. В направлении осиzпревалируетиндуцированное излучение, поскольку спонтанное излучение – разнонаправ-ленное–излучаетсяравновероятнововсестороныиимможнопренебречь.

Поделив обе части выражения для ΔР_νнаdS, перейдем к приращению плот-ности мощности и учтем, чтоB₁₂=B₂₁, а плотность мощности для направ-ленного излученияввакуумеI_ν=cw_ν:

dI_ν=g(ν)B_21hνс^–1I_ν(n_2–n₁)dz. (2.1)

С учетом единиц измеренияdz[м] и (n₂–n₁) [м^–3] – разности концен-трацийчастиц на верхнем инижнем уровнях получим,что произведениепервых пяти сомножителей в (2.1) должно выражаться в единицах площади[м²].Этопроизведениеназываютсечениеминдуцированных переходов:

σ_инд=g(ν)B_21hνс^–1. (2.2)Дляизмененияплотностимощностивслоевеществаокончательнопо-

лучим

dI_{ν= σинд(}n_2–n₁)I_νdz. (2.3)Входящиев(2.3)величиныσ_инд,I_νиdzвсегдаположительны,следо-

вательно,знакdI_{νбудет определяться}толькоразницей(n_2–n₁).