2. Приложения производных

1. Дифференциал функции.

Пусть функция , определенная в некотором промежуткеимеет производную в точкеx.

.

Тогда можно записать , гдепри

Следовательно:

, где– бесконечно малая высшего порядка по сравнению с.

Определение:Дифференциаломфункциив точкеназывается главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента.или.

Вычислим: . Следовательно

(2.1)

Пример 2.17.Найти дифференциал данной функции:

a) ,

b)

Решение: Находим производную данной функции и, умножив ее на дифференциал независимой переменной, получим искомый дифференциал данной функции:

a) ;

b)

.

Геометрический смысл дифференциала.

Дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к графику функции в соответствующей точке, когда аргумент получает приращение.

Действительно на рисунке PNэто приращение функции, аPTэто приращение по касательной, или дифференциал.

Отметим, что может быть ,или– это зависит от направления выпуклости функции.тогда когда, т.е функция равна постоянной.

Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной.

2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Формулу можно записать так: и при достаточно малых значенияхприращение функции может быть заменено ее дифференциалом с как угодно малой относительной ошибкой:

или, откуда

(2.2)

Это приближенное равенство применяется для приближенных вычислений , так как вычисление дифференциала функции значительно проще, чем вычисление ее приращения.

Пример 2.18. Вычислить приближенное значение.

Решение: Пустьесть частное значение функциипри. Пусть, тогда

,

,

.

Подставляя найденные значения в формулу (2.2) получаем:

.

Ответ: 0,77.

3. Уравнения касательной и нормали к графику функции.

Уравнение касательной к линии в точкеимеет вид. (2.3)

Нормалью к кривой в некоторой ее точке называется перпендикуляр к касательной в той же точке. Если , то уравнение нормали к линиив точкезапишется так:

. (2.4)

Если в точке производная функциибесконечна, то есть, или не существует, то касательная в таком случае параллельна осиOY.

Угол между двумя пересекающимися кривымииопределяется как угол между двумя прямыми, касательными к кривым в точке их пересеченияпо формуле:

. (2.5)

Пример 2.19. Найти угловой коэффициент касательной к графику функциив точке с абсциссой.

Решение.Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен значению производной функции в этой точке. Найдем производную данной функции:.

Найдем значение производной в точке :

.

Ответ: 2.

Пример 2.20. Найти угол между касательной к графику функциив точке с абсциссойи осьюOX.

Решение. Тангенс угла между касательной к графику функциив точке с абсциссойи осьюOXэто значение производной этой функции в данной точке. Найдем производную функции.

.

. Значит. Следовательно угол между касательной к графику функции и осьюOXравенили.

Ответ: .

Пример 2.21. Записать уравнение касательной к графику функциив точке с абсциссой.

Решение. Найдем производную заданной функции и ее значение в данной точке:

.

.

Найдем значение заданной функции в точке :

.

По формуле (2.3) запишем уравнение касательной:

.

Пример 2.22. Составить уравнение касательной и нормали к параболев точке, где.

Решение: Подставляя в уравнение параболы заданную абсциссу касания, найдем ее ординату:.

Для определения углового коэффициента касательной найдем производную данной функции и ее значение при.

.Подставляя найденные значения в уравнения (2.3) и (2.4) запишем уравнения касательной и нормали:

– уравнение касательной;

– уравнение нормали.

Пример 2.23. Найти угол, под которым пересекаются прямаяи парабола.

Решение: Для того, что бы найти точку в которой пересекаются кривые надо совместно решить уравнения параболы и прямой:

. Подставляем найденные значения в систему:. Следовательно, прямая и парабола пересекаются в двух точках:.

Далее находим угловые коэффициенты касательных к прямой и параболе:

;

.

Подставляя в найденные производные координаты точек пересечения, получаем угловые коэффициенты касательных:

.

.

Согласно формуле (2.5) получим:

..

..

Ответ: ,.