Обратные тригонометрические функции
Функции, обратные
к функциям
,
,
,
,
называются обратными
тригонометрическими
арксинус,
арккосинус,
арктангенс,
арккотангенс.
Получим аналитическое
выражение для функции
.
Поскольку
,
где
,
то получим
и
.
Следовательно,
.
Аналитические выражения для других обратных тригонометрических функций получаются аналогичным образом.
Пример 4.10.4.
Записать
в алгебраической форме число
.
Решение.
По формуле
имеем
,
.
Пример 4.10.5.
Записать
в алгебраической форме число
.
Решение.
Применим
формулу
,
.
Лекция 6. Интеграл от функции комплексного переменного и его свойства
Пусть в некоторой
области
плоскости
задана однозначная
и непрерывная
функция
,
и пусть
– произвольная кусочно-гладкая
ориентированная
кривая (
– начало кривой,
– её конец), принадлежащая области
вместе со своими концами.
Р
азобьём
точками
,
,…,
кривую
произвольным образом на
дуг (рис.
31) и обозначим
Выберем на каждой дуге
произвольную точку
и составим сумму
,
которая называется интегральной
суммой
функции
,
соответствующей данному разбиению
кривой
и данному выбору точек. Сумма
,
в общем случае, зависит как от способа
разбиения
кривой
,
так и от выбора
точек
на каждой
элементарной
дуге
.
Рассмотрим такую произвольную
последовательность
разбиений
кривой
,
что длина
наибольшего отрезка стремится к нулю
.
Определение 4.11.1. Предел последовательности интегральных сумм при , если он существует, называется интегралом от функции вдоль кривой и обозначается
.
Справедлива следующая теорема существования интеграла от функции комплексного переменного.
Теорема 4.11.1.
Если
функция
однозначна и непрерывна на кусочно-гладкой
ориентированной кривой
,
то предел интегральной суммы существует
и не зависит ни от способа разбиения
кривой, ни от выбора точек
.
Доказательство.
▶
Рассмотрим функцию
.
Введём обозначения
,
.
Представим
в виде
Выделим в интегральной сумме действительную и мнимую части
Перейдём к пределу при . Так как по условию функции u(x,y) и v(x,y) непрерывны на кусочно-гладкой кривой , то пределы интегральных сумм
и
существуют
и не зависят ни от способа разбиения
кривой, ни от выбора точек
.
Следовательно, существует и предел
последовательности интегральных сумм
при
.
В результате приходим к равенству
. (4.10)
Таким образом, теорема доказана. ■
Определение
интеграла от функции комплексного
переменного сохраняется и на случай
замкнутой кривой. При этом различают
два противоположных направления обхода:
положительным считается то, при котором
область, ограниченная контуром, остаётся
слева; и отрицательным – если область
остаётся справа. Будем обозначать через
кривую, совпадающую с
,
но имеющую противоположное направление
обхода.
Свойства интегралов от функций комплексного переменного:
1)
.
▶ Следует из определения интеграла ■.
2)
.
▶ Пусть
и
.
Тогда
.
■
3) Линейность:
;
4) Аддитивность:
,
где
–
кривая, состоящая их двух частей таких,
что конец
совпадает с началом
,
т.е.
;
▶ Свойства 3) и 4) вытекают из соответствующих свойств криволинейных интегралов. ■
5) теорема об оценке интеграла:
Если
функция
ограничена на кривой
,
т.е.
,
то:
,
где l
– длина кривой
.
▶ Выберем
произвольную последовательность
разбиений кривой
,
удовлетворяющих условию
.
Оценим
,
следовательно,
,
так
как при
длина ломаной
стремится к длине
кривой
.
■
Пример 4.11.1.
Вычислить
,
где
– отрезок прямой, соединяющий точки
,
(рис. 32).
Решение. Выделим действительную и мнимую части подынтегральной функции
.
Отсюда
,
и учтём, что
.
Применим формулу (4.10):
.
Преобразуем криволинейные интегралы к определённым интегралам. Уравнение прямой имеет вид y = 1 – x, отсюда dy = – dx, при этом переменная меняется от 0 до 1. Таким образом, получаем
.