Лекция 5. Некоторые элементарные функции комплексного переменного и их свойства

Экспоненциальная функция

Экспоненциальной называется функция, определяемая формулой

.

Эта функция определена для всех и обладает следующими свойствами:

1) ;

2) при любом ;

3) периодическая функция с периодом , т.е .

Действительно,

, так как .

4) Функция является аналитической на комплексной плоскости (z).

Чтобы это доказать, выделим вещественную и мнимую части функции . Отсюда получаем , . Найдём частные производные

, , , .

Эти частные производные непрерывны всюду, и условия Коши – Римана , выполняются во всех точках плоскости, следовательно, функция аналитична во всех точках плоскости (z). Из аналитичности функции следует, что .

Отметим, что выражение лишено смысла, так как

если z = x > 0, то ,

если z = x < 0, то ,

поэтому не существует.

Тригонометрические функции

Тригонометрическими называются функции, определяемые равенствами

синус,

косинус,

тангенс,

котангенс.

С помощью формулы Эйлера легко убедиться в том, что для действительных эти функции совпадают с обычными тригонометрическими функциями. Они сохраняют и многие свойства последних. Приведём некоторые из них:

1) w = sin z есть нечётная функция, так как

;

2) w = cos z есть чётная функция, так как

;

3) Все известные соотношения между тригонометрическими функциями действительного аргумента сохраняются и в комплексной области. Например,

, ,

и т. д.

4) Функции sin z и cos z периодические с периодом 2, а функции и – с периодом . Действительно,

.

Аналогично доказываются равенства cos (z + 2) = cos z, , .

Однако комплексные тригонометрические функции обладают не всеми свойствами действительных тригонометрических функций. В частности, неравенства , выполняются не для всех значений . Например,

.

Гиперболические функции

Гиперболическими функциями называются функции, определяемые равенствами

гиперболический синус,

гиперболический косинус,

гиперболический тангенс,

гиперболический котангенс.

Между тригонометрическими и гиперболическими функциями существует связь. Можно доказать справедливость следующих соотношений

sin iz = ish z, sh iz = isin z, ch iz = cos z,

cos iz = ch z, tg iz = ith z, ctg iz = – icth z,

, .

Приведём доказательства некоторых из них

, ,

, .

Пример 4.10.1. Представить число в алгебраической форме.

Решение. Воспользуемся формулой .

Учитывая, что и , получаем

.

Логарифмическая функция

Натуральным логарифмом комплексного числа называется число , если , и обозначается .

Пусть , тогда . Отсюда следует, что или , . Подставляя значения u и v в , получаем , или

, .

Эта формула определяет бесконечное множество комплексных чисел – логарифмов числа . Из этого множества выделяется одно значение, отвечающее , которое называется главным значением логарифма числа .

Главное значение логарифма обозначается и определяется равенством .

Таким образом, , .

Логарифмическая функция определена всюду, кроме точек и . Приведём некоторые основные свойства функции :

1) Логарифмическая функция является бесконечнозначной, а любые два её значения отличаются на число, кратное .

Например, ,

, , .

2) Для любых и имеют место равенства

, .

Так как логарифмическая функция бесконечнозначная, то записанные равенства следует понимать как равенства множеств.

Пример 4.10.3. Найти логарифм числа .

Решение. Учитывая, что и , находим

, .