Лекция 3. Предел и непрерывность функции комплексного переменного

Пусть функция определена в окрестности точки , кроме, быть может, самой точки .

Определение 4.6.1. Комплексное число называется пределом функции при , если для такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство . Записывается .

Д ругими словами, число является пределом функции при , если для любой -окрестности точки найдётся такая -окрестность точки , которая с помощью функции отображается в -окрестность точки , кроме, быть может, самой точки (рис. 25).

Следует иметь в виду, что для данной функции существование предела по любому фиксированному пути ( ) ещё не гарантирует существование предела .

Пример 4.6.1. Найти .

Решение. Подставляя , получим

.

Пример 4.6.2. Найти .

Решение. .

Пример 4.6.3. Найти .

Решение. Если , то , и мы получим неопределённость вида . Найдём предел по прямой :

.

Значение предела зависит от числа k, т.е. от способа стремления . Например, при k = 0 (прямая y = 0) , при k = 1 (прямая y = x) . Следовательно, не существует.

Пример 4.6.4. Найти .

Решение. Запишем числа и в показательной форме , тогда . Учитывая, что при , имеем

.

Зависимость значения предела от угла показывает, что эти пределы различны для различных направлений. Следовательно, предел не существует.

Для предела функции комплексного переменного справедливы утверждения:

Пусть , . Тогда существование предела равносильно существованию двух пределов и , т.е.

(4.4)

а также

для и .

Определение предела функции комплексного аргумента формально ничем не отличается от определения предела функции действительного аргумента, и, следовательно, все теоремы о пределах суммы, разности, произведения, частного остаются в силе для функций комплексного аргумента.

Пусть функция определена в точке и некоторой её окрестности.

Определение 4.6.2. Функция называется непрерывной в точке , если существует конечный предел , и его значение совпадает с , т.е. .

Это определение можно сформулировать и с помощью неравенств: функция непрерывна в точке , если для любого найдётся такое, что для всех , удовлетворяющих условию выполняется неравенство .

Пусть z   = z приращение аргумента, а f(z)  f( ) = w приращение функции. Тогда условие непрерывности функции в точке можно представить в виде

.

Это означает, что функция непрерывна в точке , если бесконечно малому приращению аргумента z соответствует бесконечно малое приращение функции w.

Определение 4.6.3. Функция называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Из соотношений (4.4) следует также, что если в точке функция f(z) = u(x, y) + iv(x, y) непрерывна, то в точке непрерывны как действительная u(x, y), так и мнимая v(x, y) части функции, и наоборот.

Основные теоремы о непрерывных функциях действительного аргумента остаются в силе и для функций комплексного переменного. Среди теорем о функциях, непрерывных на множестве, отметим две:

1) Функция , непрерывная в ограниченной замкнутой области , ограничена в этой области, т.е. существует такое число , , что для всех .

2) Функция , непрерывная в ограниченной замкнутой области , принимает в ней свои наименьшее и наибольшее (по модулю) значения.